Wyznacz wszystkie liczby całkowite , dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego .
Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby oraz , a pochodna .
Wyznacz wzór wielomianu .
Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej .
Sporządź wykres funkcji , a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie , ma dwa rozwiązania, których iloczyn jest liczbą ujemną.
Niech będą zdarzeniami losowymi, takimi że oraz . Zbadaj, czy zdarzenia i są rozłączne.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci: . Wyznacz wszystkie wartości , dla których granicą tego ciągu jest liczba:
.
Dane jest równanie postaci , gdzie jest parametrem.
Dla wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału .
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których dane równanie ma w przedziale trzy różne rozwiązania.
W trójkącie prostokątnym dane są długości przyprostokątnych: i . Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina przeciwprostokątną w punkcie . Wykaż, że długość odcinka jest równa . Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia.
Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość , zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się .
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że każda liczba naturalna spełnia nierówność .
