Matura (maj 2015, poziom rozszerzony, (stara formuła))

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej różnej od oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej różnej od prawdziwa jest równość

Dany jest wielomian . Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor , przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste , takie, że .

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy , do drugiej , a do trzeciej , to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego. Znajdź te liczby.

Rozwiąż równanie w przedziale .

Rozwiąż nierówność .

O trapezie wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków – w podanej kolejności – tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez jest rombem.

Na boku trójkąta równobocznego wybrano punkt taki, że . Oblicz tangens kąta .

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu i zarazem prostopadłych do prostej .

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem . Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

Rozważmy rzut sześcioma kostkami do gry, z których każda ma inny kolor. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że uzyskany wynik rzutu spełnia równocześnie trzy warunki:

• dokładnie na dwóch kostkach otrzymano po jednym oczku;

• dokładnie na trzech kostkach otrzymano po sześć oczek;

• suma wszystkich otrzymanych liczb oczek jest parzysta.