Liczba jest równa
444^4444^4
4−44^{-4}4−44^{-4}
4−84^{-8}4−84^{-8}
4−124^{-12}4−124^{-12}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Dodatnia liczba stanowi liczby . Wówczas
y=1310x\displaystyle y= \frac{13}{10}x y=1013x\displaystyle y= \frac{13}{10}x
y=710x\displaystyle y= \frac{7}{10}x y=107x\displaystyle y= \frac{7}{10}x
y=107x\displaystyle y= \frac{10}{7}x y=710x\displaystyle y= \frac{10}{7}x
y=1013x\displaystyle y= \frac{10}{13}x y=1310x\displaystyle y= \frac{10}{13}x
Ustalanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
Przedział jest opisany nierównością
∣x+1∣≥2|x+1|\ge 2∣x+1∣≥2|x+1|\ge 2
∣x+1∣≤2|x+1|\le 2∣x+1∣≤2|x+1|\le 2
∣x−1∣≤2|x-1|\le 2∣x−1∣≤2|x-1|\le 2
∣x−1∣≥2|x-1|\ge 2∣x−1∣≥2|x-1|\ge 2
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Wartość wyrażenia jest równa
log215\log_215log215\log_215
2222
4444
log225\log_225log225\log_225
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Liczba jest miejscem zerowym funkcji . Wtedy
m=−2m=-2m=−2m=-2
m=0m=0m=0m=0
m=2m=2m=2m=2
m=3m=3m=3m=3
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
Dla każdego kąta ostrego wyrażenie jest równe
2sin2α2\sin^2\alpha2sin2α2\sin^2\alpha
2cos2α2\cos^2\alpha2cos2α2\cos^2\alpha
1111
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Kąt jest ostry i . Wartość wyrażenia jest równa
43\displaystyle \frac{4}{3} 34\displaystyle \frac{4}{3}
119\displaystyle \frac{11}{9} 911\displaystyle \frac{11}{9}
179\displaystyle \frac{17}{9} 917\displaystyle \frac{17}{9}
113\displaystyle \frac{11}{3} 311\displaystyle \frac{11}{3}
Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji .
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
[−3,5]\left[-3,5\right][−3,5]\left[-3,5\right]
[−6,7]\left[-6,7\right][−6,7]\left[-6,7\right]
[0,6]\left[0,6\right][0,6]\left[0,6\right]
[−5,8]\left[-5,8\right][−5,8]\left[-5,8\right]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Przedziałem, w którym funkcja przyjmuje tylko wartości ujemne, jest
[5,0)\left[5,0\right)[5,0)\left[5,0\right)
(5,7]\left(5,7\right](5,7]\left(5,7\right]
(0,7]\left(0,7\right](0,7]\left(0,7\right]
[−6,5)\left[-6,5\right)[−6,5)\left[-6,5\right)
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji i :
Funkcja jest określona wzorem
g(x)=f(x−1)g(x)=f(x-1) g(x)=f(x−1)g(x)=f(x-1)
g(x)=f(x)−1g(x)=f(x)-1g(x)=f(x)−1g(x)=f(x)-1
g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1)g(x)=f(x+1)
g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Punkt jest środkiem okręgu. Kąt , zaznaczony na rysunku, ma miarę
50∘50^\circ 50∘50^\circ
45∘45^\circ 45∘45^\circ
25∘25^\circ 25∘25^\circ
20∘20^\circ 20∘20^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Iloczyn wielomianów oraz jest równy
−8x3+27-8x^3+27−8x3+27-8x^3+27
−8x3−27-8x^3-27−8x3−27-8x^3-27
8x3+278x^3+278x3+278x^3+27
8x3−278x^3-278x3−278x^3-27
Równość wielomianów i wyznaczanie współczynników wielomianu
Prostokąt o przekątnej długości jest podobny do prostokąta o bokach długości i . Obwód prostokąta jest równy
10101010
20202020
5555
24242424
Podobieństwo figur (stosunki pól i obwodów)
Kosinus kąta ostrego rombu jest równy , bok rombu ma długość . Pole tego rombu jest równe
92\displaystyle \frac{9}{2} 29\displaystyle \frac{9}{2}
934\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4} 493\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}
932\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2} 293\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{2}
6666
Romb
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe . Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa
626\sqrt{2}626\sqrt{2}
323\sqrt{2}323\sqrt{2}
12212\sqrt{2}12212\sqrt{2}
828\sqrt{2}828\sqrt{2}
Sześcian
Ciąg określony jest wzorem dla . Równość zachodzi dla
n=2n=2n=2n=2
n=3n=3n=3n=3
n=4n=4n=4n=4
n=5n=5n=5n=5
Obliczanie wyrazu ciągu
Funkcja ma dokładnie
dwa miejsca zerowe.
trzy miejsca zerowe.
cztery miejsca zerowe.
pięć miejsc zerowych.
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
x−2y−4=0x-2y-4=0x−2y−4=0x-2y-4=0
x+2y+4=0x+2y+4=0x+2y+4=0x+2y+4=0
x−2y+4=0x-2y+4=0x−2y+4=0x-2y+4=0
x+2y−4=0x+2y-4=0x+2y−4=0x+2y-4=0
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości oraz . Najmniejszy kąt w tym trójkącie ma miarę
60∘60^\circ 60∘60^\circ
30∘30^\circ 30∘30^\circ
15∘15^\circ 15∘15^\circ
Wartości funkcji trygonometrycznych znanych kątów ostrych
Dany jest ciąg arytmetyczny , w którym różnica oraz . Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
45454545
50505050
55555555
60606060
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
W ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy , a czwarty wyraz jest równy . Wówczas iloraz tego ciągu jest równy
q=13\displaystyle q= \frac{1}{3} q=31\displaystyle q= \frac{1}{3}
q=12\displaystyle q= \frac{1}{2} q=21\displaystyle q= \frac{1}{2}
q=23\displaystyle q= \frac{2}{3} q=32\displaystyle q= \frac{2}{3}
q=32\displaystyle q= \frac{3}{2} q=23\displaystyle q= \frac{3}{2}
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na poniższym diagramie.
Średnia ocen uzyskanych przez uczniów z tego sprawdzianu jest równa
3333
3,53{,}53,53{,}5
Średnia arytmetyczna / ważona
Objętość stożka o wysokości i promieniu podstawy trzy razy mniejszym od wysokości jest równa
19πh2\displaystyle \frac{1}{9}\pi h^2 91πh2\displaystyle \frac{1}{9}\pi h^2
127πh2\displaystyle \frac{1}{27}\pi h^2 271πh2\displaystyle \frac{1}{27}\pi h^2
19πh3\displaystyle \frac{1}{9}\pi h^3 91πh3\displaystyle \frac{1}{9}\pi h^3
127πh3\displaystyle \frac{1}{27}\pi h^3 271πh3\displaystyle \frac{1}{27}\pi h^3
Stożek
Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe
14\displaystyle \frac{1}{4} 41\displaystyle \frac{1}{4}
38\displaystyle \frac{3}{8} 83\displaystyle \frac{3}{8}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
34\displaystyle \frac{3}{4} 43\displaystyle \frac{3}{4}
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Dana jest prosta o równaniu . Prosta równoległa do prostej i przecinająca oś w punkcie o współrzędnych ma równanie
y=−0,4x+3y=-0{,}4x+3y=−0,4x+3y=-0{,}4x+3
y=−0,4x−3y=-0{,}4x-3y=−0,4x−3y=-0{,}4x-3
y=2,5x+3y=2{,}5x+3y=2,5x+3y=2{,}5x+3
y=2,5x−3y=2{,}5x-3y=2,5x−3y=2{,}5x-3
Proste równoległe
0000
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Kąt jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia .
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których cyfra jedności jest o większa od cyfry setek.
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Wykaż, że liczba jest dzielnikiem liczby .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Nieskończony ciąg geometryczny jest określony wzorem , dla . Oblicz iloraz tego ciągu.
Definicja
Podstawą graniastosłupa jest prostokąt (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość . Przekątna prostokąta tworzy z jego dłuższym bokiem kąt . Przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt . Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Prostopadłościan
Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Równania wymierne
Wierzchołki trapezu mają współrzędne: , , , . Napisz równanie okręgu, który jest styczny do podstawy tego trapezu, a jego środek jest punktem przecięcia się prostych zawierających ramiona oraz trapezu .
Trapez w układzie współrzędnych
