Formuła 2015
Komputer początkowo kosztował zł. Po trzech miesiącach jego cenę obniżono o . Po kolejnym miesiącu nową cenę obniżono o kolejnych . Cena komputera po tych dwóch obniżkach jest równa
2360\displaystyle 23602360\displaystyle 2360
1888\displaystyle 18881888\displaystyle 1888
2832\displaystyle 28322832\displaystyle 2832
1770\displaystyle 17701770\displaystyle 1770
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
Liczba jest równa
0,040{,}040,040{,}04
0,80{,}80,80{,}8
2,52{,}52,52{,}5
0,40{,}40,40{,}4
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
2\displaystyle 22\displaystyle 2
3\displaystyle 33\displaystyle 3
4\displaystyle 44\displaystyle 4
8\displaystyle 88\displaystyle 8
Logarytmy - podstawowe własności i działania
60\displaystyle 6060\displaystyle 60
6\displaystyle 66\displaystyle 6
60\displaystyle \sqrt{60}60\displaystyle \sqrt{60}
0\displaystyle 00\displaystyle 0
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,−11)(-\infty,-11)(−∞,−11)(-\infty,-11)
(−∞,−11](-\infty,-11](−∞,−11](-\infty,-11]
(−11,+∞)(-11,+\infty)(−11,+∞)(-11,+\infty)
[−11,+∞)[-11,+\infty)[−11,+∞)[-11,+\infty)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Rozwiązaniem równania jest liczba
(−5)\displaystyle \left(-5\right)(−5)\displaystyle \left(-5\right)
(−2)\displaystyle \left(-2\right)(−2)\displaystyle \left(-2\right)
1\displaystyle 11\displaystyle 1
17\displaystyle 1717\displaystyle 17
Równania wymierne
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
dwa rozwiązania: (−5)(-5)(−5)(-5) oraz 2222.
dwa rozwiązania: (−5)(-5)(−5)(-5) oraz 0000.
trzy rozwiązania: (−5)(-5)(−5)(-5), 0000 oraz 2222.
cztery rozwiązania: (−5), (−2), 0(-5),\ (-2),\ 0(−5), (−2), 0(-5),\ (-2),\ 0 oraz 2222.
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
{y=x+2y=2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=2x-3\end{cases}{y=x+2y=2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=2x-3\end{cases}
{y=−x+2y=2x−3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-3\end{cases}{y=−x+2y=2x−3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-3\end{cases}
{y=x+2y=−2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=-2x-3\end{cases}{y=x+2y=−2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=-2x-3\end{cases}
{y=−x+2y=2x+3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x+3\end{cases}{y=−x+2y=2x+3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x+3\end{cases}
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Funkcja jest określona za pomocą tabeli
Największa wartość funkcji jest równa
1111
2222
4444
5555
6666
Odczytywanie własności z tabeli wartości
Miejsce zerowe funkcji jest równe
Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie .
16,816{,}816,816{,}8
15,815{,}815,815{,}8
11,311{,}311,311{,}3
10,310{,}310,310{,}3
Zadania z treścią
Funkcja jest określona wzorem
f(x)=6,5x+1,03f(x)=6{,}5x+1{,}03f(x)=6,5x+1,03f(x)=6{,}5x+1{,}03
f(x)=1,03x+10f(x)=1{,}03x+10f(x)=1,03x+10f(x)=1{,}03x+10
f(x)=10x+1,03f(x)=10x+1{,}03f(x)=10x+1,03f(x)=10x+1{,}03
f(x)=1,03x+6,5f(x)=1{,}03x+6{,}5f(x)=1,03x+6,5f(x)=1{,}03x+6{,}5
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−∞,−2](-\infty,-2](−∞,−2](-\infty,-2]
[1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)[1,+\infty)
[−1,3][-1,3][−1,3][-1,3]
[−2,+∞)[-2,+\infty)[−2,+∞)[-2,+\infty)
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
x=1x=1x=1x=1
y=1y=1y=1y=1
x=−2x=-2x=−2x=-2
y=−2y=-2y=−2y=-2
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
f(x)=12(x−1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+2f(x)=21(x−1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+2
f(x)=12(x+1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2+2f(x)=21(x+1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2+2
f(x)=12(x−1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2f(x)=21(x−1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2
f(x)=12(x+1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2f(x)=21(x+1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Liczba jest równa
(−1)\displaystyle \left(-1\right)(−1)\displaystyle \left(-1\right)
6118\displaystyle \frac{61}{18} 1861\displaystyle \frac{61}{18}
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Dany jest ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej , w którym oraz .Iloraz ciągu jest równy
3333
9999
523\displaystyle \frac{52}{3}352\displaystyle \frac{52}{3}
27272727
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej . Suma początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Trzeci wyraz ciągu jest równy
7777
13131313
15151515
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
W trójkącie prostokątnym sinus kąta jest równy , a przeciwprostokątna jest o dłuższa od przyprostokątnej . Długość przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równa
18181818
20202020
24242424
25252525
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Kąt jest ostry oraz . Tangens kąta jest równy
718\displaystyle \frac{7}{18}187\displaystyle \frac{7}{18}
724\displaystyle \frac{7}{24}247\displaystyle \frac{7}{24}
725\displaystyle \frac{7}{25}257\displaystyle \frac{7}{25}
1825\displaystyle \frac{18}{25}2518\displaystyle \frac{18}{25}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt , w którym , oraz . Pole trójkąta jest równe
5\displaystyle 55\displaystyle 5
10\displaystyle 1010\displaystyle 10
Trójkąt
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Miara kąta jest równa (zobacz rysunek).
Miara kąta wpisanego jest równa
80∘80^\circ80∘80^\circ
90∘90^\circ90∘90^\circ
100∘100^\circ100∘100^\circ
110∘110^\circ110∘110^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste oraz są określone równaniami
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
(−6)(-6)(−6)(-6)
(−2)(-2)(−2)(-2)
Proste równoległe
W układzie współrzędnych odcinek o końcach oraz jest średnicą okręgu . Środkiem okręgu jest punkt o współrzędnych
(1,3)\displaystyle \left(1,3\right)(1,3)\displaystyle \left(1,3\right)
(5,−4)\displaystyle \left(5,-4\right)(5,−4)\displaystyle \left(5,-4\right)
(1,−3)\displaystyle \left(1,-3\right)(1,−3)\displaystyle \left(1,-3\right)
(5,4)\displaystyle \left(5,4\right)(5,4)\displaystyle \left(5,4\right)
Długość odcinka i środek odcinka
Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa . Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa
10101010
11111111
12121212
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Dany jest prostopadłościan , w którym podstawy i są kwadratami o boku długości . Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z przekątną ściany bocznej kąt o mierze (zobacz rysunek).
Przekątna tego prostopadłościanu ma długość równą
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
12212\sqrt{2}12212\sqrt{2}
Prostopadłościan
Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość . Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe
376376376376
466466466466
480480480480
720720720720
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o większa od cyfry jedności, jest
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa
3,253{,}253,253{,}25
3,313{,}313,313{,}31
Średnia arytmetyczna / ważona
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takich, że , prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Funkcja liniowa jest określona wzorem . W układzie współrzędnych wykres funkcji jest prostą, która jest nachylona do osi pod kątem ostrym i przecina oś w punkcie . Oblicz sinus kąta oraz drugą współrzędną punktu .
Kąt nachylenia prostej do osi OXOXOXOX
Ciąg jest arytmetyczny. Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu. Oblicz różnicę tego ciągu.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości: oraz . Wysokość tego trapezu ma długość . Na odcinku leży punkt taki, że (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka .
Trapez prostokątny
Dane są dwa zbiory: oraz . Losujemy jedną liczbę ze zbioru , a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
W układzie współrzędnych przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie . Bok tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu , a bok zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka oraz długość odcinka .
Równoległobok w układzie współrzędnych
