Matura (czerwiec 2015, poziom rozszerzony, dodatkowy, (nowa formuła))

Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy . Wyraz jest równy

Liczba punktów wspólnych wykresów funkcji i jest równa

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?

Dla dowolnego kąta wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia

Zbiór – to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych , dla których wartość liczbowa wyrażenia jest liczbą rzeczywistą. Zatem

Wyznacz największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność .

Prosta o równaniu jest styczna do okręgu o środku . Wyznacz promień tego okręgu.

Niech . Wykaż, że .

W trójkącie kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę , a kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę . Okrąg przechodzi przez punkt i przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach i . Okrąg przechodzi przez punkt , przecina okrąg w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta . Ponadto okrąg przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.

Rozwiąż równanie , dla .

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

Dany jest trójkąt , w którym . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest środkiem odcinka . Przez punkty i poprowadzono prostą, która przecięła bok w punkcie . Wykaż, że długość odcinka jest równa .

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

Podstawą ostrosłupa jest trapez . Przekątna tego trapezu ma długość , jest prostopadła do ramienia i tworzy z dłuższą podstawą tego trapezu kąt o mierze . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej .

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz całkowite wartości parametru , dla których funkcja przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa . Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.