(nowa formuła)
Niech . Wtedy
L=1L=1L=1L=1
L=2L=2L=2L=2
L=3L=3L=3L=3
L=4L=4L=4L=4
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Okrąg o równaniu jest styczny do okręgu o środku i promieniu . Wynika stąd, że
r=5r=5r=5r=5
r=15r=15r=15r=15
r=10r=10r=10r=10
r=20r=20r=20r=20
Dwa okręgi - wzajemne położenie i punkty wspólne
Liczba jest równa
1111
−1-1−1-1
3−223-2\sqrt{2}3−223-2\sqrt{2}
22+12\sqrt{2}+122+12\sqrt{2}+1
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Spośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.
∣34x+5∣<2\displaystyle \left| \frac{3}{4}x+5 \right|<243x+5<2\displaystyle \left| \frac{3}{4}x+5 \right|<2
∣43x+5∣<2\displaystyle \left| \frac{4}{3}x+5 \right|<234x+5<2\displaystyle \left| \frac{4}{3}x+5 \right|<2
∣35x+4∣<2\displaystyle \left| \frac{3}{5}x+4 \right|<253x+4<2\displaystyle \left| \frac{3}{5}x+4 \right|<2
∣45x+3∣<2\displaystyle \left| \frac{4}{5}x+3 \right|<254x+3<2\displaystyle \left| \frac{4}{5}x+3 \right|<2
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji , określonej dla każdej liczby rzeczywistej , poprowadzonej w punkcie , tego wykresu.
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
W trójkącie kąt jest dwa razy większy od kąta . Wykaż, że prawdziwa jest równość .
Dowodzenie w planimetrii
Udowodnij, że dla dowolnego kąta , prawdziwa jest nierówność
Nierówności trygonometryczne
Wykaż, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru , losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce
Dany jest rosnący ciąg geometryczny , którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o , to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz tego ciągu.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Dany jest nieskończony ciąg okręgów o równaniach , . Niech będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem i wewnętrznym okręgiem . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni , gdzie .
Szereg geometryczny
Trapez prostokątny o podstawach i jest opisany na okręgu. Ramię ma długość , a ramię jest wysokością trapezu. Podstawa jest razy dłuższa od podstawy . Oblicz pole tego trapezu.
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Wierzchołki i trójkąta prostokątnego leżą na osi układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków , i w punktach – odpowiednio – , i . Oblicz współrzędne wierzchołków , i tego trójkąta.
Trójkąt prostokątny w układzie współrzędnych
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki: oraz .
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
Wyznacz objętość drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej .
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz tę wartość , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.
Optymalizacja w stereometrii
