Matura (marzec 2022, Arkusz pokazowy)

Platforma jest w wersji

$logo$

Matura

marzec 2022

Zadanie 1

(1 pkt.)

Wartość wyrażenia jest równa

Zadanie 2

(1 pkt.)

Wartość wyrażenia jest równa

Zadanie 3

(1 pkt.)

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra , jest

Zadanie 4

(1 pkt.)

Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wartość wyrażenia jest równa

Zadanie 5

(2 pkt.)

Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.

Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ

Zadanie 6

(1 pkt.)

Dany jest wielomian

gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Liczba jest równa

Zadanie 7

(1 pkt.)

Równanie

ma w zbiorze liczb rzeczywistych

Zadanie 8

(1 pkt.)

Spośród rysunków A–D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:

Zadanie 9

(2 pkt.)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej liczba jest podzielna przez .

Zadanie 10.1

(1 pkt.)

Dana jest funkcja kwadratowa , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja jest określona za pomocą funkcji następująco: .

Wykres funkcji przedstawiono na rysunku

Zadanie 10.2

(1 pkt.)

Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności:

Zadanie 10.3

(3 pkt.)

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Zadanie 11

(1 pkt.)

Dana jest funkcja liniowa określona wzorem , gdzie i są liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku obok.

Współczynniki i we wzorze funkcji spełniają warunki

Zadanie 12

(1 pkt.)

Firma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny swojego produktu na liczbę kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny o jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o jednostki. Ponadto przy cenie równej jednostek liczba kupujących jest równa jednostek.

Funkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór

Zadanie 13.1

(1 pkt.)

Czas półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

gdzie:

- masa przyjętej dawki leku

- czas półtrwania leku

- czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.

Pacjent otrzymuje co dni o tej samej godzinie dawkę leku . Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy doby.

Wykres zależności masy leku w organizmie tego pacjenta od czasu , liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku

Zadanie 13.2

(3 pkt.)

gdzie:

- masa przyjętej dawki leku

- czas półtrwania leku

- czas liczony od momentu przyjęcia dawki.

Pacjent otrzymuje co dni o tej samej godzinie dawkę leku . Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy doby.

Oblicz masę leku w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do .

Zadanie 14

(1 pkt.)

Klient wpłacił do banku na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Po latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Zadanie 15

(1 pkt.)

Dany jest ciąg określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczby są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu .	P	F
jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej .	P	F

Zadanie 16

(1 pkt.)

Dany jest trójkąt , w którym , , .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Cosinus kąta jest równy .	P	F
Trójkąt jest rozwartokątny.	P	F

Zadanie 17

(1 pkt.)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dany jest okrąg o środku i promieniu .

Równanie tego okręgu ma postać

Zadanie 18

(1 pkt.)

Odcinki i przecinają się w punkcie . W trójkątach i zachodzą związki: , , , (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku trójkąta .

Zadanie 19.1

(1 pkt.)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dana jest prosta o równaniu .

Jedną z prostych równoległych do prostej jest prosta o równaniu

Zadanie 19.2

(1 pkt.)

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dana jest prosta o równaniu .

Jedną z prostych prostopadłych do prostej jest prosta o równaniu

Zadanie 20

(1 pkt.)

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest kwadrat . Wierzchołki i są końcami przekątnej tego kwadratu.

Długość przekątnej kwadratu jest równa

Zadanie 21

(1 pkt.)

Odcinek jest średnicą okręgu o środku w punkcie i promieniu (zobacz rysunek). Cięciwa ma długość .

Miara kąta jest równa

Zadanie 22

(1 pkt.)

Kąt jest ostry oraz . Tangens kąta jest równy

Zadanie 23

(1 pkt.)

Dane są dwa trójkąty podobne i o polach równych – odpowiednio – oraz . Obwód trójkąta jest równy .

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Zadanie 24

(1 pkt.)

Punkty oraz leżą na okręgu o środku . Proste i są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – i . Te proste przecinają się w punkcie i tworzą kąt o mierze (zobacz rysunek).

Miara kąta jest równa

Zadanie 25

(1 pkt.)

Powierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi bocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt , w którym bok odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa). Przekątna tego prostokąta ma długość i tworzy z bokiem kąt o mierze (zobacz rysunek).

Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Zadanie 26

(1 pkt.)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie . Punkty i są środkami – odpowiednio – krawędzi bocznych , i (zobacz rysunek).

Stosunek objętości ostrosłupa do objętości ostrosłupa jest równy

Zadanie 27

(1 pkt.)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek obok).

Na którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt pomiędzy ścianą boczną i przekątną ściany bocznej tego graniastosłupa?

Zadanie 28

(3 pkt.)

W pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od do . Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej , jest wygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los wyciągnięty z pojemnika był wygrywający.

Zadanie 29

(4 pkt.)

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym i kącie ostrym o mierze .

Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości boku równoległoboku.

Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Zadanie 30.1

(1 pkt.)

W pewnej grupie uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu korzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażony w godzinach – dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera. Na osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez określony czas.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Mediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa godziny.	P	F
Połowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż godziny.	P	F

Zadanie 30.2

(1 pkt.)

Dominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa

Arkusz

Odpowiedzi

Rozwiąż online