Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy $(a_n)$(a_n) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu (oprócz pierwszego) powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu ciągu przez stałą $q\in\mathbb{R}$q\in\mathbb{R}, czyli gdy dla dowolnego $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+} zachodzi:

Liczbę $q$q nazywamy ilorazem ciągu $(a_n)$(a_n).

Niech dany będzie ciąg geometryczny $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) o ilorazie $q\in\mathbb{R}$q\in\mathbb{R}. Wówczas jeżeli:

• $a_1>0$a_1>0 oraz $q>1$q>1, to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest rosnący,

• $a_1>0$a_1>0 oraz $q\in(0,1)$q\in(0,1), to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest rosnący,

• $a_1<0$a_1<0 oraz $q>1$q>1, to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest malejący,

• $a_1<0$a_1<0 oraz $q\in(0,1)$q\in(0,1), to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest rosnący,

• $q=1$q=1 to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) jest stały,

• $q=0$q=0 to ciąg jest stały od przynajmniej drugiego wyrazu

• $q<0$q<0 to ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) nie jest monotoniczny

Dla dowolnego ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) o ilorazie $q\neq 0$q\neq 0, jego wyraz ogólny przyjmuje postać:

Ogólniej, dla dowolnego $k\in\mathbb{N_+}$k\in\mathbb{N_+}:

Ciąg $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) o wyrazach różnych od zera jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego $n>1$n>1 zachodzi równość:

Suma $n\in\mathbb{N_+}$n\in\mathbb{N_+} początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) o ilorazie $q$q wyraża się wzorem:

Jeżeli ciąg geometryczny jest dodatni, to dla dowolnego $n\ge2$n\ge2:

czyli dowolny wyraz ciągu (poza pierwszym) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Ciąg geometryczny $(a_n)$(a_n) o ilorazie $q$q jest:

• rosnący, gdy $q>1$q>1,

• malejący, gdy $q\in (0,1)$q\in (0,1),

• stały, gdy $q=1$q=1.

Szeregiem liczbowym ciągu $\left(a_n\right)$\left(a_n\right) nazywamy ciąg sum częściowych $S_n$S_n tego ciągu. Jeżeli ciąg $\left(S_n\right)$\left(S_n\right) ma granicę $S\in\mathbb{R}$S\in\mathbb{R}, to mówimy że szereg jest zbieżny i że $S$S jest sumą tego szeregu.

Szeregiem geometrycznym nazywamy sumę wszystkich kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, czyli szereg postaci:

gdzie $a,q\in\mathbb{R}$a,q\in\mathbb{R}. Sumę:

nazywamy $n-$n-tą sumą częściową szeregu geometrycznego.

Jeżeli istnieje skończona granica sum częściowych:

to granicę tę nazywamy sumą szeregu, a sam szereg nazywamy zbieżnym. W przeciwnym wypadku szereg nazywamy rozbieżnym.

Szereg geometryczny o ilorazie $q\in(-1,1)$q\in(-1,1) jest zbieżny, a jego suma wyraża się wzorem

Liczbą Eulera nazywamy liczbę zdefiniowaną jako:

Dodatkowo: