Procenty to krótko mówiąc ułamki o mianowniku 100 (łac. per centum - na sto), jednak w praktyce nigdy nie występują samodzielnie, a zawsze w kontekście danej liczby.

Definicja 1

Procent (%)

Jednym procentem (%) danej wielkości nazywamy setną (0,01) część tej wielkości.

(0)1\%=\frac{1}{100}=0{,}01

Ogólnie:

(0)p\%= \frac{p}{100}

Liczba o p\% większa od a (liczba a zwiększona o p\%) to

(0)a+ \frac{p}{100} \cdot a=a \cdot \left(1+ \frac{p}{100} \right)

Liczba o p\% mniejsza od a (liczba a zmniejszona o p\%) to

(0)a- \frac{p}{100} \cdot a=a \cdot \left(1- \frac{p}{100} \right)

Definicja 2

Promil (‰)

Jednym promilem (‰) (łac. pro mille - na tysiąc) danej wielkości nazywamy jedną tysięczną (0,001) tej wielkości.

(0)1‰= \frac{1}{10}\%= \frac{1}{1000}=0{,}001

Ogólnie

(0)p‰= \frac{p}{1000}

Wprost z definicji wynika ścisły związek procentów z ułamkami, pozwalającymi nam zapisać procenty w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych. Należy jednak pamiętać, że procenty zawsze odnoszą się do jakiejś wielkości i nigdy nie występują samodzielnie.

Przykład 1

Procenty i ułamki

\displaystyle 11\%= \frac{11}{100}=0{,}11
\displaystyle 60\%= 0{,}6= \frac{60}{100}= \frac{3}{5}
\displaystyle 150\%= \frac{150}{100}=1{,}5
\displaystyle \frac{3}{4}= 0{,}75 \cdot 100\%=75\%
\displaystyle \frac{2}{7} = \frac{2}{7} \cdot 100\%= \frac{200}{7}\%=28 \frac{4}{7}\%
0{,}035=0{,}035 \cdot 100\%=3{,}5\%

Zauważ że zamieniając ułamek dziesiętny na procenty wystarczy przesunąć przecinek o dwa miejsca w prawo i dopisać symbol \%.

Zamiana ułamka zwykłego na procent polega na rozszerzeniu tego ułamka do mianownika 100 (o ile to możliwe), i w tak otrzymanym mianownik licznik wyraża liczbę procentów. Alternatywnie, mnożymy ułamek przez 100\%.

W drugą stronę, aby zamienić procent na ułamek wystarczy wpisać w liczniku liczbę procentów, a w mianowniku 100.

Uwaga 1

Procenty, które dobrze znać

Warto wyróżnić następujące procenty:

\displaystyle 10\%= \frac{1}{10} - jedna dziesiąta całości.
\displaystyle 25\%= \frac{1}{4 } - jedna czwarta (ćwierć) całości.
\displaystyle 50\%= \frac{1}{2} - jedna druga (połowa) całości.
\displaystyle 75\%= \frac{3}{4} - trzy czwarte całości
100\%=1 - całość.
200\%=2 - dwie całości (“dwa razy więcej”)

Obliczanie procentu danej liczby

Jednym z podstawowych rodzajów zadań z procentami są zadania polegające na wyznaczaniu procentu danej liczby. W tego typu zadaniach, procent należy zamienić na ułamek oraz pomnożyć go przez daną liczbę, tj. p\% liczby x to \displaystyle \frac{p}{100} \cdot x .

(0)p\%x= \frac{p}{100} \cdot x

Do tej kategorii należą w szczególności zadania w których cena x danego produktu wzrosła bądź zmalała o p\% i należy policzyć nową cenę. Wówczas nowa cena produktu to (100\pm p)\%x lub x\pm p\%x.

Przykład 2

Procent danej liczby

Przykłady obliczeń wybranego procenta z danej liczby:

80\% z liczby 40 to 32, ponieważ:
(0)80\%\cdot40=\frac{80}{100}\cdot 40=\frac{4}{5}\cdot 40=4\cdot 8=32
150\% z liczby 50 to 75 ponieważ:
(0)150\%\cdot 50=\frac{150}{100}\cdot 50=\frac{3}{2}\cdot50=3\cdot 25 = 75
Cena komputera wynosiła 2000\ \text{zł} i zmalała o 25\%. Po obniżce nowa cena wynosi 90\% \cdot 2000=1500, lub inaczej: obniżka wynosi 25\% \cdot 2000=500, zatem nowa cena to 2000-500=1500.

Uwaga 2

Podwyżka i obniżka o p\%

Gdy cena danego produktu najpierw wzrośnie o p\% a następnie zmaleje o p\% (lub na odwrót), to nowa cena jest różna od ceny początkowej!

Podwyżka → Obniżka:

Jeśli cena produktu to x, to po podwyżce o p\% jego cena wynosi \displaystyle x \cdot (100+p)\%=x \cdot \frac{100+p}{100} . Jeśli teraz cena spadnie o p\%, to ostateczna cena wynosi

(0)\begin{aligned} \left(x \cdot \frac{100+p}{100} \right) \cdot (100-p\%)&=\left(x \cdot \frac{100+p}{100} \right) \cdot \frac{100-p}{100} \\ &=x \cdot \frac{(100+p)(100-p)}{10000}\\ &=x \cdot \frac{10000-p^2}{10000} \end{aligned}

Skoro p>0 to licznik jest mniejszy od mianownika i ostateczna cena jest mniejsza od ceny początkowej.

Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba (jaki to procent)

Innym rodzajem zadań jest to polegające na obliczeniu jakim procentem jednej liczby x jest druga liczba y. W tego typu zadaniach należy podzielić pierwszą liczbę przez drugą i otrzymany iloraz (ułamek) zamienić na procenty mnożąc go przez 100.

(0) \frac{y}{x} \cdot 100\%

Przykład 3

Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Przykłady obliczania jakim procentem jednej liczby jest druga liczba:

Liczba 5 stanowi 25\% liczby 20, ponieważ:
(0)\frac{5}{20}\cdot 100\%=0.25\cdot 100\%=25\%
Liczba 140 stanowi 175\% liczby 80, ponieważ:
(0)\frac{140}{80}\cdot 100\%=\frac{7}{4}\cdot 100\%=1,75\cdot 100\%=175\%

Znajdywanie liczby gdy dany jest jej procent

Kolejnym rodzajem zadań są zadania polegające na znalezieniu liczby gdy dany jest jej procent. Załóżmy, że szukamy liczby, której p\% wynosi y. Wówczas, szukaną liczbę możemy oznaczyć przez x i otrzymujemy równanie:

(0)p\%\cdot x=y

Stąd wynika, że aby znaleźć liczbę x której p procent jest równe y, wystarczy podzielić to y przez p\%:

(0)x= \frac{y}{p\%}

Przekształcając otrzymujemy wzór:

(0)\frac{p}{100}\cdot x = y \Rightarrow x=\frac{y}{p}\cdot 100= \boxed{y \cdot \frac{100}{p}}

Alternatywną metodą jest ułożenie odpowiednich proporcji:

(0)\begin{cases} p\%&-&y\\ 100\% &-& x \end{cases} \Rightarrow x= \frac{100 \cdot y}{p}

Wreszcie, możemy po prostu podzielić liczbę przez podany procent:

Przykład 4

Liczba gdy dany jest jej procent

Przykłady obliczania liczby gdy dany jest jej procent:

Liczba której \displaystyle 20\%= \frac{1}{5} wynosi 7 to liczba 35, ponieważ:
(0)7 \cdot \frac{100}{20}=7\cdot 5=35
Liczba której 250\% wynosi 10 to liczba 4, ponieważ:
(0)10 \cdot \frac{100}{250}=4

O ile procent więcej, o ile procent mniej

Aby odpowiedzieć na pytanie o ile procent liczba a jest większa (mniejsza) od liczby b, należy obliczyć jakim procentem liczby b jest różnica a-b między a i b.

Przykład 5

Przykład

Komputer kosztuje 2500\ \text{zł} a laptop 2000\ \text{zł}.

Komputer jest droższy od laptopa o 25\% ponieważ różnica cen między komputerem i laptopem wynosi 500\ \text{zł} i stanowi 25\% ceny laptopa:
(0) \frac{\text{różnica cen}}{\text{cena laptopa}}= \frac{2500-2000}{2000}= \frac{500}{2000}= \frac{1}{4}=25\%
Laptop jest tańszy od komputera o 20\% ponieważ różnica cen między komputerem i laptopem wynosi 500\ \text{zł} i stanowi 20\% ceny komputera:
(0) \frac{\text{różnica cen}}{\text{cena komputera}}= \frac{2500-2000}{2500}= \frac{500}{2500}= \frac{1}{5}=20\%

Uwaga 3

Punkty procentowe

Zamiast mówić że dana wielkość wzrosła/zmalała o p\%, możemy powiedzieć że wzrosła/zmalała o p punktów procentowych. Ogólnie gdy porównujemy wartości wyrażone w procentach posługujemy się terminem punktu procentowego, a do wyrażenia bardzo małych zmian - punktów bazowych. Przykład: zmiana oprocentowania lokaty/kredytu czy zmiana poparcia dla partii politycznej.

Definicja 3

Punkt procentowy

Punkt procentowy to jednostka różnicy między dwiema wartościami wyrażonymi w procentach.

Definicja 4

Punkt bazowy

Punkt bazowy to jednostka równa \displaystyle \frac{1}{100} punktu procentowego.