Ułamki: okresowe

Ten typ obejmuje zadania z , czyli takich , w których od pewnego miejsca powtarza się ten sam ciąg cyfr — okres. Okres zapisujemy w nawiasie, np. $0{,}272727\ldots=0{,}(27)$0{,}272727\ldots=0{,}(27). Najczęściej wyznaczamy cyfrę na danym miejscu po przecinku albo zamieniamy ułamek okresowy na zwykły.

W tym wariancie wyznaczamy rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego i jego okres o długości $d$d. Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, cyfry powtarzają się co $d$d miejsc, więc cyfra na miejscu $n$n jest taka sama jak na miejscu $r$r, gdzie $r$r jest resztą z dzielenia $n$n przez $d$d:

Gdy $r=0$r=0, szukana cyfra jest ostatnią cyfrą okresu.

W tym zadaniu mianownik jest liczbą jednocyfrową, więc okres wyznaczamy dzieleniem pisemnym, a szukana cyfra stoi daleko po przecinku.

Tutaj mianownik jest złożony z samych jedynek, więc ułamek można rozszerzyć do mianownika złożonego z samych dziewiątek — wtedy cyfry licznika od razu tworzą okres.

W tym wariancie ułamek okresowy występuje w działaniu z ułamkiem zwykłym. Zamieniamy go na : okres złożony z $k$k cyfr zapisujemy w liczniku, a w mianowniku — liczbę złożoną z $k$k dziewiątek, np.:

Potem wykonujemy działania na ułamkach zwykłych i upraszczamy wynik.