Nierówność wielomianowa

Ten typ obejmuje , np. $W(x)>0$W(x)>0 albo $W(x)\le 0$W(x)\le 0, gdzie $W$W jest wielomianem. Wielomian rozkładamy na czynniki możliwie niskiego stopnia. Gdy wielomian stopnia $n$n ma $n$n pierwiastków (liczonych z krotnościami), zapisujemy go w :

Tu $x_1,\ldots,x_n$x_1,\ldots,x_n są , a $a_n$a_n — współczynnikiem przy najwyższej potędze. Czynnik kwadratowy bez pierwiastków ma stały znak, więc nie zmienia zbioru rozwiązań. Pierwiastki zaznaczamy na osi liczbowej i szkicujemy wykres wielomianu: dla dużych $x$x ma on znak liczby $a_n$a_n, a przechodząc przez pierwiastek nieparzystej , zmienia znak; przy pierwiastku parzystej krotności znak się nie zmienia. Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań — w nierówności nieostrej dołączamy do niego pierwiastki. Sposób szkicowania takiego wykresu, potrzebny w zadaniach tego typu, opisano w artykule .

Zadania, w których współczynniki wielomianu wyznaczamy najpierw z informacji o podzielności lub reszcie z dzielenia przez dwumian, zostały zebrane w osobnym typie , a nierówności wymierne, które po pomnożeniu przez kwadrat mianownika stają się wielomianowe — w typie .

W tym wariancie najpierw rozkładamy wielomian na czynniki: wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, grupujemy wyrazy albo korzystamy ze , a pierwiastki czynnika kwadratowego obliczamy z wyróżnika. Potem zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej i z wykresu odczytujemy przedziały, w których wielomian ma szukany znak.

W tym zadaniu nierówność wynika z warunku istnienia pierwiastka kwadratowego — wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne. Wielomian jest już iloczynem $x$x i dwumianu, który rozkładamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

Tutaj znamy jeden pierwiastek, a jeden współczynnik jest nieznany — wyznaczamy go z warunku, że wartość wielomianu w tym pierwiastku jest równa zeru. Z wielomian dzieli się przez odpowiadający mu dwumian.