Proporcje (stosunek) i proporcjonalność prosta / odwrotna (wielkości wprost / odwrotnie proporcjonalne)

Ten typ obejmuje zadania, w których wielkości są ze sobą powiązane stałym stosunkiem lub stałym iloczynem. to równość dwóch ilorazów, $a:b=c:d$a:b=c:d, a podział w danym stosunku pozwala obliczyć części całości. Gdy dwie wielkości zmieniają się razem, rozróżniamy i :

W pierwszym przypadku stały jest iloraz $\displaystyle \frac{y}{x}$\displaystyle \frac{y}{x}, a w drugim — iloczyn $x\cdot y$x\cdot y. Liczba $a\neq0$a\neq0 to współczynnik proporcjonalności.

W tym wariancie całość dzielimy na części, których długości, masy lub udziały pozostają w danym stosunku $k_1:k_2:\ldots:k_n$k_1:k_2:\ldots:k_n. Zgodnie z definicją części zapisujemy jako $k_1x$k_1x, $k_2x$k_2x, …, $k_nx$k_nx, a ich suma jest równa całości. Część o numerze $i$i stanowi więc taki ułamek całości:

W tym wariancie jedna wielkość rośnie tyle razy, ile razy rośnie druga. Przy $y=a\cdot x$y=a\cdot x iloraz $\displaystyle \frac{y}{x}$\displaystyle \frac{y}{x} jest stały, więc najpierw obliczamy wartość przypadającą na jednostkę, a potem mnożymy ją przez nowe wartości.

W tym zadaniu produkcja jest proporcjonalna jednocześnie do liczby maszyn i do czasu pracy, więc najpierw obliczamy, ile wytwarza jedna maszyna w ciągu godziny.

W tym wariancie wielkości $x$x i $y$y są odwrotnie proporcjonalne, a ich wartości podano w tabeli. Z definicji iloczyn $x\cdot y$x\cdot y jest stały, więc dla dwóch par wartości:

Z pełnej pary obliczamy współczynnik $a=x\cdot y$a=x\cdot y, a brakujące wartości wyznaczamy jako $\displaystyle y=\frac{a}{x}$\displaystyle y=\frac{a}{x} lub $\displaystyle x=\frac{a}{y}$\displaystyle x=\frac{a}{y}.

W tym zadaniu w tabeli brakuje tylko jednej wartości, więc wystarczy jedno równanie z iloczynem.

Tutaj w tabeli brakuje dwóch wartości, po jednej w każdym wierszu, więc współczynnik obliczamy z jedynej pełnej pary, a każdą brakującą wartość wyznaczamy osobno.