Definicja 1

Parabola

Parabola to zbiór punktów płaszczyzny równo odległych od prostej zwanej kierownicą paraboli i punktu zwanego ogniskiem paraboli.

Twierdzenie 1

O wykresie funkcji kwadratowej

Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(p,q), gdzie

(0)\begin{align*} p&=-\frac{b}{2a}\\ q&=-\frac{\Delta}{4a}\\ \Delta &=b^2 - 4ac \end{align*}

Definicja 2

Wyróżnik (“delta”) trójmianu kwadratowego

Wyróżnikiem (“deltą”) trójmianu kwadratowego ax^2+bx+c nazywamy liczbę:

(0)\Delta =b^2 - 4ac

Twierdzenie 2

O obrazie wykresu funkcji kwadratowej w przesunięciu równoległym o wektor

Obrazem wykresu funkcji kwadratowej y=ax^2, a\neq 0 w przesunięciu równoległym o wektor [p,q] jest wykres funkcji kwadratowej y=a(x-p)^2+q.

Definicja 3

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postacią kanoniczną funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c nazywamy wzór postaci:

(0)f(x)=a(x-p)^2+q,

gdzie p,q\in\mathbb{R} to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji kwadratowej.

Twierdzenie 3

O zamianie postaci ogólnej funkcji kwadratowej na postać kanoniczną

Funkcję kwadratową w postaci ogólnej f(x)=ax^2+bx+c, gdzie a\neq 0 można przekształcić do postaci kanonicznej f(x)=a(x-p)^2+q,

gdzie:

(0)\begin{align*} p&=-\frac{b}{2a}\\ q&=-\frac{\Delta}{4a} \end{align*}

Uwaga 1

Uwaga

Każdą postać ogólną funkcji kwadratowej można przekształcić do postaci kanonicznej, i na odwrót, każdą postać kanoniczną można przekształcić do postaci ogólnej.

Twierdzenie 4

O symetrii wykresu funkcji kwadratowej

Osią symetrii paraboli będąca wykresem funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c o wierzchołku w punkcie W=(p,q) jest prosta x=p. Dodatkowo, jeżeli dla dowolnych x_1,x_2 zachodzi:

(0)f(x_1)=f(x_2),

to p jest równe średniej arytmetycznej tych punktów, tj.:

(0)p= \frac{x_1+x_2}{2}

Również, dla dowolnego k\in\mathbb{R} zachodzi:

(0)f(p-k)=f(p+k),

tj. funkcja f dla argumentów równo oddalonych od współrzędnej p przyjmuje te same wartości.

Twierdzenie 5

Własności wykresu funkcji kwadratowej

Niech dana będzie funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c. Wówczas jej wykresem jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(p,q) gdzie

(0)\begin{align*} p&=-\frac{b}{2a}\\ q&=-\frac{\Delta}{4a} \end{align*}

oraz:

Jeżeli a>0, to:
- ramiona paraboli są skierowane do góry
- funkcja osiąga minimum (wartość najmniejszą) w punkcie dla x=p i wynosi ona y=q.
- funkcja nie przyjmuje wartości największej w \mathbb{R}
- Funkcja jest malejąca w przedziale (-\infty, p].
- Funkcja jest rosnąca w przedziale [p,\infty).
- Zbiorem wartości funkcji jest przedział [q,\infty)
Jeżeli a<0 to:
- ramiona paraboli są kierowane w dół
- funkcja osiąga maximum (wartość największą) w punkcie x=p i wynosi ona y=q
- funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej w \mathbb{R}.
- funkcja jest rosnąca w przedziale (-\infty, p]
- funkcja jest malejąca w przedziale [p,\infty)
- zbiorem wartości funkcji jest przedział (-\infty, q].
Oś symetrii paraboli jest dana równaniem x=p.
Punkt przecięcia paraboli z osią OY ma współrzędne (0,c).

Definicja 4

Styczna i sieczna paraboli

Prosta i parabola na płaszczyźnie mogą mieć jeden punkt wspólny, dwa punkty wspólne lub nie mieć ich wcale. Prostą, która przecina parabolę w dwóch punktach nazywamy sieczną paraboli, natomiast prostą która przecina parabolę w dokładnie jednym punkcie i która nie jest równoległa do osi OY, nazywamy styczną do paraboli.

Przykład 1

Wzór funkcji kwadratowej na podstawie wykresu

Wzór funkcji kwadratowej na podstawie wykresu wyznaczymy odczytując współrzędne wierzchołka paraboli i wyznaczając współczynnik a w postaci kanonicznej podstawiając dowolny inny punkt wykresu.

Postać iloczynową wyznaczymy znajdując punkty zerowe i wyznaczając a podobnie jak wyżej.

Postać ogólną wyznaczamy korzystając z faktu że c jest współrzędną y-ową punktu przecięcia paraboli z osią OY. Współczynniki a i b odnajdujemy układając układ równań z dwóch innych punktów na wykresie.

Wreszcie, możemy ułożyć układ 3 równań z 3 niewiadomymi wybierając 3 różne punkty na wykresie.

Uwaga 2

Rysowanie wykresu

Wykres funkcji kwadratowej możemy narysować licząc jej miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli. Jeżeli miejsca zerowe nie istnieją, to wystarczy policzyć wartość funkcji w dowolnych dwóch, najlepiej równoodległych punktach od współrzędnej x-owej wierzchołka paraboli i poprowadzić przez nie wykres funkcji. Może to być punkt przecięcia paraboli z osią OY.

Twierdzenie o zamianie postaci ogólnej funkcji kwadratowej na postać kanoniczną