Analiza wykresów funkcji to jedno z kluczowych zagadnień matematyki, które pozwala lepiej zrozumieć zależności między zmiennymi i przewidywać ich zachowanie. Szczególną rolę odgrywają przekształcenia wykresów, takie jak przesunięcia oraz symetrie względem osi układu współrzędnych. Dzięki nim możemy w prosty sposób modyfikować kształt wykresu bez konieczności jego ponownego rysowania punkt po punkcie. W tym artykule omówimy, jak przesunięcia w poziomie i w pionie oraz odbicia względem osi OX i OY wpływają na wygląd wykresu funkcji i jak możemy połączyć ze sobą poszczególne przekształcenia aby otrzymać wykresy wybranych funkcji.

Twierdzenie 1

O przesunięciu wykresu funkcji wzdłuż osi OY

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w przesunięciu równoległym o wektor [0,q] (wzdłuż osi OY) jest wykres funkcji y=f(x)+q.

Uwaga 1

Uwaga

Innymi słowy, wykres funkcji y=f(x)+q, gdzie q>0, powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji y=f(x) o q jednostek w górę wzdłuż osi OY.

Analogicznie, wykres funkcji y=f(x)-q, gdzie q>0, otrzymujemy poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=f(x) o q jednostek w dół wzdłuż osi OY.

Twierdzenie 2

O przesunięciu wykresu funkcji wzdłuż osi OX

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w przesunięciu równoległym o wektor [p,0] (wzdłuż osi OX) jest wykres funkcji y=f(x-p).

Uwaga 2

Uwaga

Innymi słowy, wykres funkcji y=f(x-p), gdzie p>0, powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji funkcji y=f(x) o p jednostek w prawo wzdłuż osi OX.

Analogicznie, wykres funkcji y=f(x+p), gdzie p>0, powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji y=f(x) o p jednostek w lewo wzdłuż osi OX.

Twierdzenie 3

O przesunięciu równoległym wykresu funkcji

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w przesunięciu równoległym o wektor [p,q] jest wykres funkcji y=f(x-p)+q.

Twierdzenie 4

O symetrii osiowej wykresu funkcji względem osi OX

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w symetrii osiowej względem osi OX jest wykres funkcji y=-f(x).

Twierdzenie 5

O symetrii osiowej wykresu funkcji względem osi OY

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w symetrii osiowej względem osi OY jest wykres funkcji y=f(-x).

Twierdzenie 6

O obrazie wykresu funkcji w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w symetrii środkowej względem punktu O=(0,0) jest wykres funkcji y=-f(-x).

Uwaga 3

Uwaga

Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych to złożenie symetrii względem osi OX oraz osi OY.

Uwaga 4

Dziedzina i zbiór wartości przesuniętych funkcji

Jeżeli dziedziną funkcji oraz jej zbiorem wartości nie jest cały zbiór liczb rzeczywistych \mathbb{R}, to:

przesunięcie funkcji wzdłuż osi OX zmienia dziedzinę funkcji,
przesunięcie funkcji wzdłuż osi OY zmienia zbiór wartości funkcji.
odbicie funkcji względem osi OX zmienia zbiór wartości funkcji,
odbicie funkcji względem osi OY zmienia dziedzinę funkcji.

Twierdzenie 7

O obrazie wykresu funkcji w powinowactwie prostokątnym o osi OX

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w powinowactwie prostokątnym o osi OX i skali k\neq0 jest wykres funkcji g(x)=k \cdot f(x). Dodatkowo,

dziedzina funkcji g(x)=k \cdot f( x) jest taka sama co dziedzina funkcji y=f(x).
zbiór wartości funkcji g(x)=k \cdot f( x) to zbiór
(0)\text{ZW}_g=\left\{ky,\ y\in \text{ZW}_f \right\}= k\text{ZW}_f

Przykład 1

Przykład

Twierdzenie 8

O obrazie wykresu funkcji w powinowactwie prostokątnym o osi OY

Obrazem wykresu funkcji y=f(x) w powinowactwie prostokątnym o osi OX i skali \displaystyle \frac{1}{k}, k\neq0 jest wykres funkcji y= f(k \cdot x). Dodatkowo,

dziedziną funkcji y=f(k \cdot x) jest zbiór
(0)D_g=\left\{x\in\mathbb{R}:kx\in D_f \right\}= \frac{1}{k}D_f
zbiór wartości funkcji y=f\left(k \cdot x\right) jest identyczny co zbiór wartości funkcji y=f(x).

Przykład 2

Przykład

Przykład 3

Rysowanie funkcji złożonej

W przypadku funkcji złożonych, najczęściej najpierw rysujemy w kilku etapach zaczynając od tej najbardziej wewnętrznej, a kończąc na zewnętrznej. W tym celu używamy poznanych wyżej przekształceń.

Twierdzenie o obrazie wykresu funkcji w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych