Definicja 1

Nierówność kwadratowa

Nierównością kwadratową (drugiego stopnia) z niewiadomą x nazywamy nierówność przyjmującą jedną z postaci:

(0)\begin{aligned} ax^2+bx+c&<0,\\ ax^2+bx+c&>0,\\ ax^2+bx+c&\le0,\\ ax^2+bx+c&\ge0, \end{aligned}

gdzie a,b,c\in\mathbb{R}, oraz a\neq0.

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych sprowadza się do:

wyznaczenia miejsc zerowych funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c=0 (o ile istnieją),
narysowania wykresu funkcji f(x) w układzie współrzędnych,
odczytania z wykresu rozwiązania nierówności poprzez sprawdzenie dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie / ujemne / nieujemne / niedodatnie (zgodnie ze znakiem nierówności)

Rozwiązaniem nierówności kwadratowych może być liczba, przedział liczbowy, suma przedziałów liczbowych, cały zbiór liczb rzeczywistych (nierówność tożsamościowa) bądź nierówność może w ogóle nie mieć rozwiązania (nierówność sprzeczna).

Powyższe rozważania formalnie możemy zebrać w poniższym twierdzeniu.

Twierdzenie 1

O rozwiązaniu nierówności kwadratowej

Niech a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq0 i niech \Delta będzie Wyróżnik (delta) trójmianu kwadratowego. Wówczas, rozwiązania nierówności kwadratowej

(0)ax^2+b+c\ \square\ 0,\quad\text{gdzie }\square\in\left\{<,>,\le,\ge\right\}

można opisać w zależności od znaku a, rodzaju nierówności oraz wartości \Delta w następujący sposób (korzystając z Twierdzenie o miejscach zerowych funkcji kwadratowej):

\Delta>0 (dwa pierwiastki rzeczywiste x_1<x_2)

a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
>0	>	x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)
>0	\ge	x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)
>0	<	x\in(x_1,x_2)
>0	\le	x\in[x_1,x_2]
<0	>	x\in(x_1,x_2)
<0	\ge	x\in[x_1,x_2]
<0	<	x\in(-\infty,x_1)\cup (x_2,\infty)
<0	\le	x\in(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)

\Delta=0 (jeden pierwiastek rzeczywisty x_0)
a
Rodaj nierówności
Rozwiązanie
>0
>
x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
>0
\ge
x\in\mathbb{R}
>0
<
x\in\emptyset
>0
\le
x\in\{x_0\}
<0
>
x\in\emptyset
<0
\ge
x\in\{x_0\}
<0
<
x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
<0
\le
x\in\mathbb{R}
\Delta<0 (brak pierwiastków rzeczywistych)
a
Rodaj nierówności
Rozwiązanie
>0
>
x\in\mathbb{R}
>0
\ge
x\in\mathbb{R}
>0
<
x\in\emptyset
>0
\le
x\in\emptyset
<0
>
x\in\emptyset
<0
\ge
x\in\emptyset
<0
<
x\in\mathbb{R}
<0
\le
x\in\mathbb{R}

a	Rodaj nierówności	Rozwiązanie
>0	>	x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
>0	\ge	x\in\mathbb{R}
>0	<	x\in\emptyset
>0	\le	x\in\{x_0\}
<0	>	x\in\emptyset
<0	\ge	x\in\{x_0\}
<0	<	x\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\}
<0	\le	x\in\mathbb{R}