Definicja 1

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta (środek okręgu jest równo oddalony od boków trójkąta).

Uwaga 1

Nazewnictwo

Zamiast mówić że okrąg został wpisany w trójkąt, możemy powiedzieć, że trójkąt został opisany na okręgu.

Twierdzenie 1

O okręgu wpisanym w trójkąt

Dwusieczne kątów wewnętrznych w trójkącie przecinają się w jednym punkcie będącym środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Dodatkowo, długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt jest równa odległości środka okręgu od dowolnego boku tego trójkąta.

Twierdzenie 2

O promieniu okręgu wpisanego w trójkąt

Długość r promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach długości a,b,c dany jest wzorem:

(0)\begin{aligned} \displaystyle r&=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\\ \end{aligned}

lub

(0)r= \frac{2P}{a+b+c} ,

lub

(0)r= \frac{P}{p}

gdzie P to pole trójkąta, a p to połowa obwodu tego trójkąta:

(0)p=\frac{a+b+c}{2}

Twierdzenie 3

O polu trójkąta opisanego na okręgu

Pole trójkąta o obwodzie a+b+c opisanego na okręgu o promieniu długości r wynosi:

(0)P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r

Twierdzenie 4

O okręgu wpisanym w trójkąt równoramienny

Środek okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny leży na wysokości poprowadzonej na podstawę.

Twierdzenie 5

O okręgu wpisanym w trójkąt równoboczny

Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest punkt przecięcia się jego wysokości, a promień tego okręgu jest równy jednej trzeciej wysokości trójkąta:

(0)r= \frac{1}{3}h= \frac{a\sqrt{3}}{6}

Twierdzenie 6

O okręgu wpisanym w trójkąt prostokątny

Długość r promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b oraz przyprostokątnej długości c dany jest wzorem:

(0)r=\frac{a+b-c}{2}