Definicja 1

Punkty symetryczne względem prostej

Niech dana będzie prosta k oraz punkt A nieleżący na tej prostej. Wówczas punkt A' nazywamy punktem symetrycznym do punktu A względem prostej k jeżeli punkty A i A' leżą na prostej prostopadłej do prostej k oraz prosta k jest symetralna odcinka AA' (tj. punkty A i A' leżą po przeciwnej stronie prostej k i w równiej odległości od niej). Mówimy, że punkty A i A' są symetryczne względem prostej k.

Uwaga 1

Uwaga

Jeśli punkt leży na prostej k, to przyjmujemy że jest on symetryczny sam do siebie.

Definicja 2

Symetria osiowa

Symetria osiowa względem prostej k to przekształcenie geometryczne S_k które każdemu punktowi A\notin k przyporządkowuje punkt A' do niego symetryczny względem prostej k, którą nazywamy osią symetrii. Jeżeli A\in k to S_k(A)=A.

Uwaga 2

Uwaga

Symetria osiowa nie zmienia kształtu ani wielkości figury.

Twierdzenie 1

O obrazie punktu w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych

Niech dany będzie punkt P=(x,y). Wówczas:

obrazem punktu P w symetrii względem osi OX jest punkt P_X=(x,-y).
obrazem punktu P w symetrii względem osi OY jest punkt P_Y=(-x,y).

Odcinek symetryczny do danego odcinka AB względem prostej k możemy narysować znajdując punkty A' i B' symetryczne do punktów A i B względem tej prostej i łącząc je.

Definicja 3

Figury symetryczne względem prostej

Mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej k, jeżeli jedna z nich jest odbiciem drugiej z nich względem prostej k.

W celu narysowania wielokąta symetrycznego do innego wielokąta względem prostej k, należy znaleźć punkty symetryczne do wierzchołków tego wielokąta względem prostej k i odpowiednio połączyć je tworząc boki.

Definicja 4

Figura osiowosymetryczna

Mówimy, że figura jest osiowosymetryczna, jeżeli jest ona swoim własnym obrazem w symetrii względem pewnej prostej k (jest symetryczna sama do siebie), zwanej osią symetrii tej figury.

Przykład 1

Figury osiowosymetryczne

Przykładami figur osiowosymetrycznych są: kwadrat, prostokąt, trójkąt równoramienny i równoboczny, trapez równoramienny, deltoid czy okrąg. Zwróć uwagę, że figura może mieć więcej niż jedną oś symetrii: prostokąt i romb mają 2 osie symetrii, kwadrat ma 4 osie symetrii, trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii, a okrąg i koło - nieskończenie wiele osi symetrii.

Twierdzenie 2

O zbiorze punktów stałych w symetrii osiowej

Zbiorem punktów stałych w symetrii osiowej względem prostej k jest prosta k.

Twierdzenie 3

O symetrii osiowej w trójkącie równoramiennym

Trójkąt równoramienny ma dokładnie jedną oś symetrii pokrywającą się z symetralną jego podstawy.

Twierdzenie 4

O symetrii osiowej w prostokącie

Prostokąt (nie będący kwadratem) ma dokładnie dwie osie symetrii przechodzące przez środki jego boków.

Twierdzenie 5

O symetrii osiowej w kwadracie

Kwadrat ma dokładnie cztery osie symetrii - 2 przechodzące przez środki jego boków oraz dwie zawierające jego przekątne.

Twierdzenie o obrazie punktu w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych