Definicja 1

Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli każdy następny wyraz tego ciągu (oprócz pierwszego) powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego wyrazu ciągu przez stałą q\in\mathbb{R}, czyli gdy dla dowolnego n\in\mathbb{N_+} zachodzi:

a_{n+1}=a_n\cdot q

Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu (a_n).

Twierdzenie 1

O monotoniczności ciągu geometrycznego

Niech dany będzie ciąg geometryczny \left(a_n\right) o ilorazie q\in\mathbb{R}. Wówczas jeżeli:

a_1>0 oraz q>1, to ciąg \left(a_n\right) jest rosnący,
a_1>0 oraz q\in(0,1), to ciąg \left(a_n\right) jest rosnący,
a_1<0 oraz q>1, to ciąg \left(a_n\right) jest malejący,
a_1<0 oraz q\in(0,1), to ciąg \left(a_n\right) jest rosnący,
q=1 to ciąg \left(a_n\right) jest stały,
q=0 to ciąg jest stały od przynajmniej drugiego wyrazu
q<0 to ciąg \left(a_n\right) nie jest monotoniczny

Twierdzenie 2

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Dla dowolnego ciągu geometrycznego \left(a_n\right) o ilorazie q\neq 0, jego wyraz ogólny przyjmuje postać:

a_n=a_1 \cdot q^{n-1}

Ogólniej, dla dowolnego k\in\mathbb{N_+}:

a_n=a_k\cdot q^{n-k}

Twierdzenie 3

O charakteryzacji ciągu geometrycznego

Ciąg \left(a_n\right) o wyrazach różnych od zera jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego n>1 zachodzi równość:

a_n^2=a_{n-1} \cdot a_{n+1}

Twierdzenie 4

Wzór na sumę ciągu geometrycznego

Suma n\in\mathbb{N_+} początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \left(a_n\right) o ilorazie q wyraża się wzorem:

S_n=\begin{cases} a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q},&q\neq1\\ a_1\cdot n,&q=1 \end{cases}

Twierdzenie 5

Własności ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg geometryczny jest dodatni, to dla dowolnego n\ge2:

a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}

czyli dowolny wyraz ciągu (poza pierwszym) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Definicja 2

Szereg liczbowy

Szeregiem liczbowym ciągu \left(a_n\right) nazywamy ciąg sum częściowych S_n tego ciągu. Jeżeli ciąg \left(S_n\right) ma granicę S\in\mathbb{R}, to mówimy że szereg jest zbieżny i że S jest sumą tego szeregu.

Definicja 3

Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym nazywamy sumę wszystkich kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, czyli szereg postaci:

\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\ldots

gdzie a,q\in\mathbb{R}. Sumę:

S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\ldots+a_1q^{n-1}

nazywamy n-tą sumą częściową szeregu geometrycznego.

Jeżeli istnieje skończona granica sum częściowych:

S=\lim_{n\to\infty}S_n

to granicę tę nazywamy sumą szeregu, a sam szereg nazywamy zbieżnym. W przeciwnym wypadku szereg nazywamy rozbieżnym.

Twierdzenie 6

O zbieżności szeregu geometrycznego

Szereg geometryczny o ilorazie q jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q\in(-1,1), a jego suma wyraża się wzorem

S=\frac{a_1}{1-q}

Definicja 4

Liczba Eulera (e)

Liczbą Eulera nazywamy liczbę zdefiniowaną jako:

e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\approx 2{,}718281828459

Dodatkowo:

e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}

Twierdzenie o charakteryzacji ciągu geometrycznego