Matura (kwiecień 2020, poziom podstawowy, próbna, (nowa formuła))

Niech . Wartość wyrażenia jest równa

Liczba jest równa

Wartość wyrażenia jest równa

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o . Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła

Liczba jest równa

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich liczb spełniających warunek: .

Rozważmy treść następującego zadania:
Obwód prostokąta o bokach długości i jest równy . Jeden z boków tego prostokąta jest o dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta.

Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?

Rozwiązaniem równania , gdzie , jest liczba należąca do przedziału

Linę o długości metrów rozcięto na trzy części, których długości pozostają w stosunku . Stąd wynika, że najdłuższa z tych części ma długość

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem .

Współczynniki i – we wzorze funkcji – spełniają warunki:

Dany jest ciąg arytmetyczny , określony dla , w którym są dane: i . Wtedy dla

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: . Stąd wynika, że

Kąt jest ostry i spełniona jest równość . Stąd wynika, że

Na okręgu o środku w punkcie leżą punkty i (zobacz rysunek). Kąt ma miarę , a kąt ma miarę .

Kąt ma miarę

W trójkącie punkt leży na boku , a punkt leży na boku . Odcinek jest równoległy do boku , a ponadto , (zobacz rysunek).

Odcinek ma długość

Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe . Bok tego trójkąta ma długość

Punkty i są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu . Pole tego kwadratu jest równe

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie .

Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy to

Graniastosłup ma wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Prosta przechodzi przez punkt i jest prostopadła do osi . Prosta ma równanie

Prosta jest nachylona do osi pod kątem i przecina oś w punkcie (zobacz rysunek).

Prosta ma równanie

Dany jest stożek o wysokości i tworzącej . Objętość tego stożka jest równa

Średnia arytmetyczna zestawu ośmiu danych: jest równa . Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa

Ile jest wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych mniejszych niż ?

Z pudełka, w którym jest tylko kul białych i kul czarnych, losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe . Liczba kul czarnych jest równa

Rozwiąż nierówność .

Rozwiąż równanie .

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

Dany jest trójkąt prostokątny , w którym i . Niech oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego i przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wykaż, że .

Ze zbioru liczb losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą.

Dany jest ciąg arytmetyczny , określony dla , w którym spełniona jest równość . Oblicz sumę .

Funkcja kwadratowa określona wzorem ma dwa miejsca zerowe: i . Wykres funkcji przechodzi przez punkt . Oblicz najmniejszą wartość funkcji .

Punkt jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego, którego wierzchołek leży na osi , a wierzchołek na osi układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka przecina przeciwprostokątną w punkcie .

Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej .

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny , w którym (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej tego trójkąta do długości przyprostokątnej jest równy . Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie , a długość odcinka jest równa . Pole ściany bocznej graniastosłupa jest równe . Oblicz objętość tego graniastosłupa.