Formuła 2023
Liczby i są różnymi rozwiązaniami równania . Iloczyn jest równy
4444
20202020
24242424
100100100100
Równanie z wartością bezwzględną
Liczba jest równa
282^8282^8
2102^{10}2102^{10}
2162^{16}2162^{16}
2362^{36}2362^{36}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Iloczyn jest równy
P
F
Suma jest równa
P,P
P,F
F,P
F,F
Logarytmy - podstawowe własności i działania
4−434-4\sqrt{3}4−434-4\sqrt{3}
4−234-2\sqrt{3}4−234-2\sqrt{3}
2222
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej , która przy dzieleniu przez daje resztę , i dla każdej liczby całkowitej , która przy dzieleniu przez daje resztę , liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dana jest nierówność
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
1111
3333
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
dwa rozwiązania.
trzy rozwiązania.
cztery rozwiązania.
pięć rozwiązań.
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie drzew. Po roku stwierdzono, że uschło drzew w pierwszym sadzie i drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Funkcja jest określona następująco:
Wykres funkcji przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych na rysunku poniżej.
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Wyznacz zbiór wartości funkcji .
Wyznacz miejsca zerowe funkcji .
Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności .
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji jest liczbą większą od .
Liczba należy do przedziału
(−∞,−1)\left(-\infty,-1\right)(−∞,−1)\left(-\infty,-1\right)
(−1,0)\left(-1,0\right)(−1,0)\left(-1,0\right)
(0,1)\left(0,1\right)(0,1)\left(0,1\right)
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)(1,+∞)\left(1,+\infty\right)
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
Funkcja liniowa jest określona wzorem . W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej .
Funkcja jest określona wzorem
g(x)=5x−5g(x)=5x-5g(x)=5x−5g(x)=5x-5
g(x)=5x−1g(x)=5x-1g(x)=5x−1g(x)=5x-1
g(x)=5x+1g(x)=5x+1g(x)=5x+1g(x)=5x+1
g(x)=5x+5g(x)=5x+5g(x)=5x+5g(x)=5x+5
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji kwadratowej przechodzi przez punkt . Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu . Jednym z miejsc zerowych funkcji jest liczba .
Wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej.
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu jest równa
18181818
60606060
90909090
Suma ciągu
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Ciąg jest arytmetyczny
Wszystkie wyrazy ciągu są liczbami parzystymi.
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
W ciągu arytmetycznym , określonym dla każdej liczby naturalnej , dane są wyrazy: oraz .
Różnica ciągu jest równa
(−2512)\displaystyle \left(- \frac{25}{12} \right)(−1225)\displaystyle \left(- \frac{25}{12} \right)
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
2512\displaystyle \frac{25}{12} 1225\displaystyle \frac{25}{12}
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Suma dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu jest równa
675675675675
700700700700
1300130013001300
1325132513251325
Suma ciągu arytmetycznego
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny, gdy liczba jest równa
(−3)\left(-3 \right)(−3)\left(-3 \right)
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
sin25∘\sin 25^\circ sin25∘\sin 25^\circ
cos25∘\cos 25^\circ cos25∘\cos 25^\circ
tg25∘\tg 25^\circ tg25∘\tg 25^\circ
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych oraz (zobacz rysunek). Sinus kąta jest równy .
Cosinus kąta jest równy
Wzory redukcyjne
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości (zobacz rysunek).
Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa
103\displaystyle \frac{10}{3} 310\displaystyle \frac{10}{3}
5555
8013\displaystyle \frac{80}{13} 1380\displaystyle \frac{80}{13}
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie
Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa
203\displaystyle \frac{20}{3} 320\displaystyle \frac{20}{3}
12121212
13131313
Na dziesięciokącie foremnym opisano okrąg o środku w punkcie (zobacz rysunek).
Miara kąta wpisanego jest równa
18∘18^\circ 18∘18^\circ
36∘36^\circ 36∘36^\circ
54∘54^\circ 54∘54^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Kwadrat jest podobny do kwadratu w skali (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa .
Długość boku kwadratu jest równa
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
13\sqrt{13}13\sqrt{13}
Kwadrat
W kartezjańskim układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu . Prosta jest równoległa do prostej i przecina oś w punkcie . Punkt o współrzędnych należy do prostej .
Oblicz .
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o równaniu
Okrąg jest obrazem okręgu w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych.
Okrąg jest określony równaniem
(x+1)2+(y+2)2=9 \left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^{2}=9(x+1)2+(y+2)2=9 \left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^{2}=9
(x+1)2+(y−2)2=9 \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^{2}=9(x+1)2+(y−2)2=9 \left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^{2}=9
(x−1)2+(y+2)2=9 \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^{2}=9(x−1)2+(y+2)2=9 \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^{2}=9
(x−1)2+(y−2)2=9 \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^{2}=9(x−1)2+(y−2)2=9 \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^{2}=9
Obrazy prostych, punktów i okręgów w symetrii osiowej i środkowej
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe .
Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym .
Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Prostopadłościan
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe . Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Tworząca stożka ma długość . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę .Wysokość tego stożka jest równa
232\sqrt{3}232\sqrt{3}
333\sqrt{3}333\sqrt{3}
353\sqrt{5}353\sqrt{5}
Stożek
Dane są dwa zbiory: oraz . Losujemy jedną liczbę ze zbioru , a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru i tworzymy uporządkowaną parę liczb , gdzie jest liczbą wylosowaną ze zbioru oraz jest liczbą wylosowaną ze zbioru .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb , która będzie spełniać warunek .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra , jest
108108108108
117117117117
126126126126
162162162162
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Średnia arytmetyczna trzech liczb: , jest równa .
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: , jest równa
10101010
30303030
Średnia arytmetyczna / ważona
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
Oblicz, ilu uczniów tej klasy uzyskało wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez wszystkich uczniów.
Oblicz medianę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.
Mediana
Oblicz dominantę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.
Dominanta (moda)
Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem
gdzie:
- kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki i ,
- roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.
Roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla równego
7777
14141414
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
