Liczba jest równa
−3-3 −3-3
−5-5−5-5
1111
3333
Wartość bezwzględna
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności .
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Samochód kosztował ł. Jego cenę obniżono o , a następnie cenę po tej obniżce ponownie obniżono o . Po tych obniżkach samochód kosztował
24400 zł24400\ \text{zł}24400 zł24400\ \text{zł}
24700 zł24700\ \text{zł}24700 zł24700\ \text{zł}
24000 zł24000\ \text{zł}24000 zł24000\ \text{zł}
24300 zł24300\ \text{zł}24300 zł24300\ \text{zł}
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
Dana jest liczba . Wtedy
x=72x=7^2x=72x=7^2
x=7−2x=7^{-2}x=7−2x=7^{-2}
x=38⋅72x=3^8 \cdot 7^2x=38⋅72x=3^8 \cdot 7^2
x=3⋅7x=3 \cdot 7x=3⋅7x=3 \cdot 7
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Kwadrat liczby jest równy
37373737
24+4324+4\sqrt{3}24+4324+4\sqrt{3}
37+20337+20\sqrt{3}37+20337+20\sqrt{3}
147147147147
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
−2-2−2-2
−1-1−1-1
125\displaystyle \frac{1}{25} 251\displaystyle \frac{1}{25}
4444
Definicja logarytmu
Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji .
Zbiorem wartości funkcji jest
[−2,5]\left[-2,5\right][−2,5]\left[-2,5\right]
[−4,8]\left[-4,8\right][−4,8]\left[-4,8\right]
[−1,4]\left[-1,4\right][−1,4]\left[-1,4\right]
[5,8]\left[5,8\right][5,8]\left[5,8\right]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Korzystając z wykresu funkcji , wskaż nierówność prawdziwą.
f(−1)<f(1)f(-1)<f(1)f(−1)<f(1)f(-1)<f(1)
f(1)<f(3)f(1)<f(3)f(1)<f(3)f(1)<f(3)
f(−1)<f(3)f(-1)<f(3)f(−1)<f(3)f(-1)<f(3)
f(3)<f(0)f(3)<f(0)f(3)<f(0)f(3)<f(0)
Wykres funkcji g określonej wzorem jest przedstawiony na rysunku
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Liczby i są pierwiastkami równania i . Oblicz .
−22-22−22-22
−17-17−17-17
8888
13131313
Równanie kwadratowe - postać ogólna
Liczba jest pierwiastkiem wielomianu . Współczynnik jest równy
2222
−4-4−4-4
Pierwiastki wielomianu – sprawdzanie i wyznaczanie parametru
Wskaż , dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała.
m=1m=1m=1m=1
m=2m=2m=2m=2
m=3m=3m=3m=3
m=−1m=-1m=−1m=-1
Monotoniczność funkcji liniowej
Zbiorem rozwiązań nierówności jest
[−2,3]\left[-2,3\right][−2,3]\left[-2,3\right]
[−3,2]\left[-3,2\right][−3,2]\left[-3,2\right]
(−∞,−3]∪[2,+∞)\left(-\infty,-3\right]\cup\left[2,+\infty\right)(−∞,−3]∪[2,+∞)\left(-\infty,-3\right]\cup\left[2,+\infty\right)
(−∞,−2]∪[3,+∞)\left(-\infty,-2\right]\cup\left[3,+\infty\right)(−∞,−2]∪[3,+∞)\left(-\infty,-2\right]\cup\left[3,+\infty\right)
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
W ciągu geometrycznym dane są: i . Wtedy
a4=26a_4=26a4=26a_4=26
a4=432a_4=432a4=432a_4=432
a4=32a_4=32a4=32a_4=32
a4=2592a_4=2592a4=2592a_4=2592
Definicja
W ciągu arytmetycznym oraz . Wtedy suma jest równa
9595 9595
200200200200
230230230230
100100100100
Suma ciągu arytmetycznego
Na rysunku zaznaczono długości boków i kąt trójkąta prostokątnego (zobacz rysunek). Wtedy
cosα=513\displaystyle \cos\alpha= \frac{5}{13} cosα=135\displaystyle \cos\alpha= \frac{5}{13}
tgα=1312\displaystyle \tg\alpha= \frac{13}{12 } tgα=1213\displaystyle \tg\alpha= \frac{13}{12 }
cosα=1213\cos\alpha= \frac{12}{13} cosα=1312\cos\alpha= \frac{12}{13}
tgα=125\displaystyle \tg\alpha= \frac{12}{5} tgα=512\displaystyle \tg\alpha= \frac{12}{5}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Ogród ma kształt prostokąta o bokach długości i . Na dwóch końcach przekątnej tego prostokąta wbito słupki. Odległość między tymi słupkami jest
równa 40 m40\ \text{m}40 m40\ \text{m}
większa niż 50 m50\ \text{m}50 m50\ \text{m}
większa niż 40 m40\ \text{m}40 m40\ \text{m} i mniejsza niż 45 m45\ \text{m}45 m45\ \text{m}
większa niż 45 m45\ \text{m}45 m45\ \text{m} i mniejsza niż 50 m50\ \text{m}50 m50\ \text{m}
Prostokąt
Pionowy słupek o wysokości rzuca cień o długości . W tej samej chwili stojąca obok wieża rzuca cień długości . Jaka jest wysokość wieży?
18 m18\ \text{m}18 m18\ \text{m}
8 m8\ \text{m}8 m8\ \text{m}
9 m9\ \text{m}9 m9\ \text{m}
16 m16\ \text{m}16 m16\ \text{m}
Podobieństwo trójkątów
Punkty i leżą na okręgu o środku (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego jest równa
65∘65^\circ 65∘65^\circ
100∘100^\circ 100∘100^\circ
115∘115^\circ 115∘115^\circ
130∘130^\circ 130∘130^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Dane są punkty , . Równanie okręgu o środku i przechodzącego przez punkt ma postać
(x−2)2+(y−1)2=5\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=5(x−2)2+(y−1)2=5\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=5
(x−2)2+(y−1)2=25\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25(x−2)2+(y−1)2=25\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=25
(x−6)2+(y−4)2=5\left(x-6\right)^2+\left(y-4\right)^2=5(x−6)2+(y−4)2=5\left(x-6\right)^2+\left(y-4\right)^2=5
(x−6)2+(y−4)2=25\left(x-6\right)^2+\left(y-4\right)^2=25(x−6)2+(y−4)2=25\left(x-6\right)^2+\left(y-4\right)^2=25
Równanie okręgu
Proste o równaniach oraz
są równoległe i różne
są prostopadłe
przecinają się pod kątem innym niż prosty
pokrywają się
Proste prostopadłe i równoległe
Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu .
x=4x=4x=4x=4
x=−4x=-4x=−4x=-4
x=2x=2x=2x=2
x=−2x=-2x=−2x=-2
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
Kąt jest ostry i . Wtedy
sinα=2107\displaystyle \sin\alpha= \frac{2\sqrt{10}}{7} sinα=7210\displaystyle \sin\alpha= \frac{2\sqrt{10}}{7}
sinα=107\displaystyle \sin\alpha= \frac{\sqrt{10}}{7} sinα=710\displaystyle \sin\alpha= \frac{\sqrt{10}}{7}
sinα=47\displaystyle \sin\alpha= \frac{4}{7} sinα=74\displaystyle \sin\alpha= \frac{4}{7}
sinα=34\displaystyle \sin\alpha= \frac{3}{4} sinα=43\displaystyle \sin\alpha= \frac{3}{4}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W karcie dań jest zup i drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?
25252525
20202020
16161616
9999
Kontekst praktyczny
W czterech rzutach sześcienną kostką do gry otrzymano następujące liczby oczek: . Mediana tych danych jest równa
2,52{,}52,52{,}5
5555
3,53{,}53,53{,}5
Mediana
Rozwiąż nierówność .
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o i od drugiej przyprostokątnej o . Oblicz długości boków tego trójkąta.
Trójkąt prostokątny
Dany jest prostokąt . Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty i leżą na jednej prostej.
Dowodzenie w planimetrii
Uzasadnij, że jeśli , to .
Dowodzenie równań / równości
Oblicz, ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste.
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Ciąg jest arytmetyczny, natomiast ciąg jest geometryczny. Oblicz oraz i podaj ten ciąg geometryczny.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: charakteryzacja / wzór ogólny / suma
Punkty , , są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka przecina prostą w punkcie . Oblicz długość odcinka .
Trójkąt w układzie współrzędnych
Droga z miasta do miasta ma długość . Samochód jadący z miasta do miasta wyrusza godzinę później niż samochód z miasta do miasta . Samochody te spotykają się w odległości od miasta . Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta , liczona od chwili wyjazdu z do momentu spotkania, była o mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Układy równań - prędkość
