Formuła 2015
Liczba jest jednym z przybliżeń liczby .
Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy
0,2%0{,}2\%0,2%0{,}2\%
0,25%0{,}25\%0,25%0{,}25\%
20%20\%20%20\%
25%25\%25%25\%
Błąd bezwzględny i błąd względny
Liczba jest równa
282^8282^8
2102^{10}2102^{10}
2162^{16}2162^{16}
2362^{36}2362^{36}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
4−434-4\sqrt{3}4−434-4\sqrt{3}
4−234-2\sqrt{3}4−234-2\sqrt{3}
2222
4444
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
log37\log_37log37\log_37
log310\log_310log310\log_310
log325\log_325log325\log_325
log345\log_345log345\log_345
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dana jest nierówność
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
1111
3333
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
dwa rozwiązania.
trzy rozwiązania.
cztery rozwiązania.
pięć rozwiązań.
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Na rysunku, w układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji .
Dziedziną funkcji jest przedział
(−5,3](-5,3](−5,3](-5,3]
[−5,3)[-5,3)[−5,3)[-5,3)
[−1,2)[-1,2)[−1,2)[-1,2)
[−1,2]\left[-1,2\right][−1,2]\left[-1,2\right]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest przedział
(−5,−3)\left(-5,-3\right)(−5,−3)\left(-5,-3\right)
(−5,−3](-5,-3](−5,−3](-5,-3]
[−3,1)[-3,1)[−3,1)[-3,1)
(−3,1](-3,1](−3,1](-3,1]
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji jest liczbą większą od .
Liczba należy do przedziału
(−∞,−1)\left(-\infty,-1\right)(−∞,−1)\left(-\infty,-1\right)
(−1,0)\left(-1,0\right)(−1,0)\left(-1,0\right)
(0,1)\left(0,1\right)(0,1)\left(0,1\right)
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)(1,+∞)\left(1,+\infty\right)
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
Funkcja liniowa jest określona wzorem . W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej .
Funkcja jest określona wzorem
g(x)=5x−5g(x)=5x-5g(x)=5x−5g(x)=5x-5
g(x)=5x−1g(x)=5x-1g(x)=5x−1g(x)=5x-1
g(x)=5x+1g(x)=5x+1g(x)=5x+1g(x)=5x+1
g(x)=5x+5g(x)=5x+5g(x)=5x+5g(x)=5x+5
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .
Największa wartość funkcji w przedziale jest równa
f(3)f(3)f(3)f(3)
f(4)f(4)f(4)f(4)
f(7)f(7)f(7)f(7)
f(14)f(14)f(14)f(14)
Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Liczba jest równa
1512\displaystyle \frac{1}{512} 5121\displaystyle \frac{1}{512}
116\displaystyle \frac{1}{16} 161\displaystyle \frac{1}{16}
16161616
512512512512
Funkcja wykładnicza
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu jest równa
18181818
24242424
60606060
90909090
Suma ciągu
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny, gdy liczba jest równa
(−3)\left(-3 \right)(−3)\left(-3 \right)
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych oraz (zobacz rysunek). Sinus kąta jest równy .
Cosinus kąta jest równy
37\displaystyle \frac{3}{7} 73\displaystyle \frac{3}{7}
47\displaystyle \frac{4}{7} 74\displaystyle \frac{4}{7}
337\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{7} 733\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{7}
433\displaystyle \frac{4}{\sqrt{33}} 334\displaystyle \frac{4}{\sqrt{33}}
Wzory redukcyjne
sin25∘\sin 25^\circ sin25∘\sin 25^\circ
cos25∘\cos 25^\circ cos25∘\cos 25^\circ
tg25∘\tg 25^\circ tg25∘\tg 25^\circ
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości (zobacz rysunek).
Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa
103\displaystyle \frac{10}{3} 310\displaystyle \frac{10}{3}
5555
8013\displaystyle \frac{80}{13} 1380\displaystyle \frac{80}{13}
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie
Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa
203\displaystyle \frac{20}{3} 320\displaystyle \frac{20}{3}
12121212
13131313
Na dziesięciokącie foremnym opisano okrąg o środku w punkcie (zobacz rysunek).
Miara kąta wpisanego jest równa
18∘18^\circ 18∘18^\circ
36∘36^\circ 36∘36^\circ
54∘54^\circ 54∘54^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Kwadrat jest podobny do kwadratu w skali (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa .
Długość boku kwadratu jest równa
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
13\sqrt{13}13\sqrt{13}
Kwadrat
W układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu . Prosta jest obrazem prostej w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych.
Prosta jest określona równaniem
y=x−4y=x-4y=x−4y=x-4
y=x+4y=x+4y=x+4y=x+4
y=−x−4y=-x-4y=−x−4y=-x-4
y=−x+4y=-x+4y=−x+4y=-x+4
Symetrie
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe . Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Tworząca stożka ma długość . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę .Wysokość tego stożka jest równa
232\sqrt{3}232\sqrt{3}
333\sqrt{3}333\sqrt{3}
353\sqrt{5}353\sqrt{5}
Stożek
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra , jest
108108108108
117117117117
126126126126
162162162162
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Średnia arytmetyczna trzech liczb: , jest równa .
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: , jest równa
10101010
30303030
Średnia arytmetyczna / ważona
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie drzew. Po roku stwierdzono, że uschło drzew w pierwszym sadzie i drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Suma ciągu arytmetycznego
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.
Oblicz średnią arytmetyczną liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.
Oblicz medianę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.
Mediana
Dane są dwa zbiory: oraz . Losujemy jedną liczbę ze zbioru , a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru i tworzymy uporządkowaną parę liczb , gdzie jest liczbą wylosowaną ze zbioru oraz jest liczbą wylosowaną ze zbioru .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb , która będzie spełniać warunek .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
W układzie współrzędnych wykres funkcji kwadratowej przechodzi przez punkt . Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu . Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba .
Wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji .
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe .
Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym .
Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Prostopadłościan
W układzie współrzędnych punkty oraz są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu . Prosta o równaniu przechodzi przez wierzchołki oraz tego kwadratu.
Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki oraz w równaniu prostej .
Kwadrat w układzie współrzędnych
