Matura (maj 2017, poziom rozszerzony, (stara formuła))

Rozwiąż nierówność .

Dany jest wielomian . Liczba jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu przez jest równa . Oblicz współczynniki i oraz pozostałe pierwiastki wielomianu .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste i , przy czym , spełniające warunek

Liczby są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa . Ciąg jest geometryczny. Wyznacz liczby .

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność

W trójkącie ostrokątnym bok ma długość , długość boku jest równa oraz . Dwusieczna kąta przecina bok trójkąta w punkcie .

Wykaż, że długość odcinka jest równa .

Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa .

W dwóch pudełkach umieszczono po pięć kul, przy czym w pierwszym pudełku: kule białe i kule czerwone, a w drugim pudełku: kulę białą i kule czerwone. Z pierwszego pudełka losujemy jedną kulę i bez oglądania wkładamy ją do drugiego pudełka. Następnie losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa , a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy . Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach i . Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy . Wyznacz miarę kąta .

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty i , którego środek leży na prostej o równaniu .