Matura (sierpień 2019, poziom podstawowy, poprawka, (nowa formuła))

Liczba jest równa

Kwadrat liczby jest równy

Jeżeli liczby a jest równe i liczby jest równe , to

Równanie ma dokładnie

Para liczb i jest rozwiązaniem układu równań

dla

Równanie ma dokładnie

Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej określonej wzorem są liczby

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział

Liczbą większą od jest

Punkt leży na prostej określonej równaniem . Stąd wynika, że

W ciągu arytmetycznym , określonym dla , dane są dwa wyrazy: i . Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego , określonego dla , są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy , a piąty wyraz jest równy . Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy

Cosinus kąta ostrego jest równy . Wtedy

Dany jest trójkąt równoramienny , w którym . Na podstawie tego trójkąta leży punkt , taki że , oraz (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt ma miarę

Okrąg, którego środkiem jest punkt , jest styczny do osi i do prostej o równaniu . Promień tego okręgu jest równy

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta jest równa

Proste o równaniach oraz są równoległe, gdy

W układzie współrzędnych punkt jest środkiem odcinka , którego jednym z końców jest punkt . Zatem

Punkt , przekształcono najpierw w symetrii względem osi , a potem w symetrii względem osi . W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt . Zatem

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest punktów: , , , , .

Punkt należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt

Dany jest prostopadłościan o wymiarach (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki , o długościach – odpowiednio – , , i .

Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych jest równa . Mediana tych liczb jest równa

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry , jest

W grupie osób (kobiet i mężczyzn) jest kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe

Rozwiąż równanie .

Rozwiąż nierówność .

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej prawdziwa jest nierówność .

Wierzchołki i trójkąta leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto . Wykaż, że kąt ma miarę .

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru , i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru .

Przekątne rombu przecinają się w punkcie . Punkty i leżą na prostej o równaniu . Wyznacz równanie prostej .

W ciągu arytmetycznym suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa , a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa . Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Środek okręgu leży w odległości od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa . (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt taki, że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.