Ten typ obejmuje równania wielomianowe, w których po jednej stronie stoi iloczyn czynników, a po drugiej zero, albo które łatwo do takiej postaci sprowadzić. Korzystamy z tego, że iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru:

A\cdot B=0\iff A=0\ \lor\ B=0

Tak samo jest dla iloczynu większej liczby czynników. Zamiast jednego równania wysokiego stopnia rozwiązujemy więc kilka prostszych — po jednym dla każdego czynnika — i łączymy ich rozwiązania. Gdy wszystkie czynniki są liniowe, wielomian ma postać iloczynową wielomianu:

W(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_n) $Postać iloczynowa wielomianu$

Jego pierwiastki x_1,x_2,\ldots,x_n odczytujemy wprost, a stały czynnik a_n\neq 0 nie wpływa na rozwiązania.

Uwaga

Liczba rozwiązań

Czynnik x^2+c dla c>0 jest zawsze dodatni, więc nie daje rozwiązań; tak samo trójmian kwadratowy o ujemnym wyróżniku. Czynnik podniesiony do potęgi, np. (x-1)^2, daje tylko jedno rozwiązanie, a liczbę powtarzającą się w kilku czynnikach liczymy raz. Dlatego rozwiązań może być mniej niż czynników i mniej, niż wynosi stopień wielomianu.

Równania, w których wielomian jest dany w postaci ogólnej i trzeba go dopiero rozłożyć grupowaniem wyrazów, zostały zebrane w osobnym typie Równania wielomianowe – postać ogólna, a równania kwadratowe zapisane jako iloczyn — w typie Równanie kwadratowe - postać iloczynowa.

Odczytywanie rozwiązań z czynników liniowych

W tym wariancie wszystkie czynniki zawierające niewiadomą są liniowe — mają postać ax+b albo x. Każdy z nich przyrównujemy do zera i rozwiązujemy równanie liniowe:

ax+b=0\iff x=-\frac{b}{a}

Wzór stosujemy dla a\neq 0, a tak jest w każdym czynniku liniowym. Uważamy na znaki: czynnik x+6 zeruje się dla x=-6, a czynnik 5-x — dla x=5.

W tym zadaniu każdy czynnik jest niewiadomą albo dwumianem z jedynką przy niewiadomej, więc rozwiązania odczytujemy wprost z nawiasów, a potem obliczamy ich sumę.

Tutaj w czynnikach przy niewiadomej stoją współczynniki różne od 1, więc rozwiązanie każdego czynnika obliczamy, dzieląc przez ten współczynnik.

Tutaj jeden z czynników zawiera parametr, więc jedno z rozwiązań zależy od parametru. Warunek z treści o sumie rozwiązań zapisujemy jako równanie z tym parametrem.

Czynniki z kwadratem niewiadomej

W tym wariancie co najmniej jeden czynnik ma postać x^2-a. Przyrównując go do zera, otrzymujemy równanie x^2=a, które rozwiązujemy z definicji pierwiastka kwadratowego:

x^2=a\iff x=-\sqrt{a}\ \lor\ x=\sqrt{a}

Tak jest dla a>0; ten sam wynik daje rozkład czynnika x^2-a wzorem na różnicę kwadratów. Dla a<0 równanie x^2=a nie ma rozwiązań, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny — dlatego czynnik x^2+c z c>0 nigdy się nie zeruje.

W tym zadaniu występują dwa czynniki kwadratowe, które różnią się tylko znakiem wyrazu wolnego: pierwszy rozkładamy na dwumiany, a drugi nie zeruje się dla żadnej liczby rzeczywistej.

Tutaj zadanie jest otwarte, a liczba w czynniku kwadratowym nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc rozwiązania zapisujemy za pomocą pierwiastka kwadratowego.

Tutaj jeden z czynników jest kwadratem dwumianu, który zeruje się tylko dla jednej liczby. Licząc rozwiązania, bierzemy tę liczbę pod uwagę raz.

Czynniki z sześcianem niewiadomej

W tym wariancie co najmniej jeden czynnik zawiera sześcian niewiadomej, np. x^3-a. Przyrównując go do zera, otrzymujemy równanie postaci x^3=a. Z definicji pierwiastka sześciennego ma ono dokładnie jedno rozwiązanie dla każdej liczby rzeczywistej a, także ujemnej:

x^3=a\iff x=\sqrt[3]{a}

W odróżnieniu od równania x^2=a nie rozważamy przypadków: rozwiązanie zawsze istnieje, a jego znak jest taki sam jak znak liczby a, np. x^3=-64 daje x=-4.

W tym zadaniu obok czynnika z sześcianem niewiadomej występują dwa czynniki liniowe, z których rozwiązania odczytujemy wprost.

Tutaj czynnik z sześcianem niewiadomej jest sumą, więc zeruje się dla liczby ujemnej. Drugi czynnik zawiera kwadrat niewiadomej i daje dwie liczby przeciwne.

Tutaj przy sześcianie niewiadomej stoi współczynnik różny od 1, więc najpierw dzielimy przez niego obie strony, a potem obliczamy pierwiastek sześcienny z ułamka.

Czynnik będący trójmianem kwadratowym

W tym wariancie jednym z czynników jest trójmian kwadratowy ax^2+bx+c. Jego miejsca zerowe wyznaczamy z twierdzenia o miejscach zerowych funkcji kwadratowej, obliczając wyróżnik \Delta=b^2-4ac:

\begin{aligned}x_1&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\end{aligned} $Twierdzenie o miejscach zerowych funkcji kwadratowej$

Te wzory stosujemy, gdy \Delta>0. Dla \Delta=0 trójmian ma jedno miejsce zerowe \displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}, a dla \Delta<0 — żadnego, więc nie dodaje rozwiązań równania.

W tym zadaniu jeden czynnik jest liniowy, a drugi jest trójmianem kwadratowym, którego miejsca zerowe obliczamy z wyróżnika.

Tutaj trójmianowi kwadratowemu towarzyszy czynnik z sześcianem niewiadomej, więc korzystamy również z pierwiastka sześciennego.

Tutaj trzeba najpierw ustalić, czy trójmian kwadratowy w ogóle ma miejsca zerowe — decyduje o tym znak wyróżnika.

Sprowadzanie równania do postaci iloczynowej

W tym wariancie równanie nie jest jeszcze iloczynem czynników, które umiemy od razu przyrównać do zera: jest sumą wyrazów albo któryś czynnik trzeba dalej rozłożyć. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias — niewiadomą, jej potęgę albo cały dwumian:

A\cdot B+A\cdot C=A\cdot(B+C)

Tu A, B i C oznaczają wyrażenia z niewiadomą. Różnicę kwadratów rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów a^2-b^2=(a-b)(a+b). Nie dzielimy obu stron przez wyrażenie z niewiadomą, bo tracimy wtedy rozwiązania, dla których to wyrażenie jest równe zeru.

W tym zadaniu wielomian ma tylko dwa wyrazy i oba zawierają niewiadomą, więc wyłączamy ją przed nawias razem z liczbą, a pozostały czynnik kwadratowy rozkładamy dalej.

Tutaj wspólnym czynnikiem obu składników sumy jest cały dwumian, więc wyłączamy go przed nawias, zamiast wymnażać nawiasy.

Tutaj równanie ma już postać iloczynu, ale oba czynniki trzeba jeszcze rozłożyć: jeden wzorem na różnicę kwadratów, a z drugiego wyłączamy niewiadomą.

Rozwiąż równanie (x^2-16)(x^3-1)=0.

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia