Formuła 2023
Wartość wyrażenia jest równa
254\displaystyle \frac{25}{4} 425\displaystyle \frac{25}{4}
425\displaystyle \frac{4}{25} 254\displaystyle \frac{4}{25}
3649\displaystyle \frac{36}{49} 4936\displaystyle \frac{36}{49}
409\displaystyle \frac{40}{9} 940\displaystyle \frac{40}{9}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
1111
5555
10101010
25252525
Definicja logarytmu
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez , jest
9⋅9⋅29 \cdot 9 \cdot 29⋅9⋅29 \cdot 9 \cdot 2
9⋅10⋅29 \cdot 10 \cdot 29⋅10⋅29 \cdot 10 \cdot 2
9⋅9⋅49 \cdot 9 \cdot 49⋅9⋅49 \cdot 9 \cdot 4
9⋅10⋅49 \cdot 10 \cdot 49⋅10⋅49 \cdot 10 \cdot 4
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest równe
−5x+1x−1\displaystyle \frac{-5x+1}{x-1} x−1−5x+1\displaystyle \frac{-5x+1}{x-1}
−5x+7x−1\displaystyle \frac{-5x+7}{x-1} x−1−5x+7\displaystyle \frac{-5x+7}{x-1}
−5x+3x−1\displaystyle \frac{-5x+3}{x-1} x−1−5x+3\displaystyle \frac{-5x+3}{x-1}
−5x−3x−1\displaystyle \frac{-5x-3}{x-1} x−1−5x−3\displaystyle \frac{-5x-3}{x-1}
Wyrażenia wymierne
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest równe
[3−(x−2y)]2\left[3-\left(x-2y\right)\right]^2[3−(x−2y)]2\left[3-\left(x-2y\right)\right]^2
[3+(x−2y)]2\left[3+\left(x-2y\right)\right]^2[3+(x−2y)]2\left[3+\left(x-2y\right)\right]^2
[3−(x+2y)]2\left[3-\left(x+2y\right)\right]^2[3−(x+2y)]2\left[3-\left(x+2y\right)\right]^2
[3−(x−y)]⋅[3+(x−y)]\left[3-\left(x-y\right)\right] \cdot \left[3+\left(x-y\right)\right][3−(x−y)]⋅[3+(x−y)]\left[3-\left(x-y\right)\right] \cdot \left[3+\left(x-y\right)\right]
[3−(x+2y)]⋅[3+(x+2y)]\left[3-\left(x+2y\right)\right] \cdot \left[3+\left(x+2y\right)\right][3−(x+2y)]⋅[3+(x+2y)]\left[3-\left(x+2y\right)\right] \cdot \left[3+\left(x+2y\right)\right]
−[(x−y)−3]⋅[(x−y)+3]-\left[\left(x-y\right)-3\right] \cdot \left[\left(x-y\right)+3\right]−[(x−y)−3]⋅[(x−y)+3]-\left[\left(x-y\right)-3\right] \cdot \left[\left(x-y\right)+3\right]
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
Równanie
ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie
jedno rozwiązanie: 𝑥=−3𝑥 = −3x=−3𝑥 = −3.
dwa rozwiązania: 𝑥=−3,𝑥=0𝑥 = −3, 𝑥 = 0x=−3,x=0𝑥 = −3, 𝑥 = 0.
trzy rozwiązania: 𝑥=−3, 𝑥=−1, 𝑥=0𝑥 = −3,\ 𝑥 = −1,\ 𝑥 = 0x=−3, x=−1, x=0𝑥 = −3,\ 𝑥 = −1,\ 𝑥 = 0.
cztery rozwiązania: 𝑥=−3, 𝑥=−1, 𝑥=0, 𝑥=1𝑥 = −3,\ 𝑥 = −1,\ 𝑥 = 0,\ 𝑥 = 1x=−3, x=−1, x=0, x=1𝑥 = −3,\ 𝑥 = −1,\ 𝑥 = 0,\ 𝑥 = 1.
Równania wymierne
Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.
∣x+2∣≤2|x+2|\le 2∣x+2∣≤2|x+2|\le 2
∣x−2∣≤2|x-2|\le 2∣x−2∣≤2|x-2|\le 2
∣x+2∣≥2|x+2|\ge 2∣x+2∣≥2|x+2|\ge 2
∣x−2∣≥2|x-2|\ge 2∣x−2∣≥2|x-2|\ge 2
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę ł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach ł, ł oraz ł. Banknotów złotowych było dwa razy więcej niż złotowych, a banknotów złotowych było o mniej niż złotowych.
Niech oznacza liczbę banknotów złotowych, a - liczbę banknotów złotowych, które otrzymał ten klient.
Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb i to
{20y+50x+100⋅2x=1040y=x−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+100 \cdot 2x=1040\\ y=x-2 \end{cases}{20y+50x+100⋅2x=1040y=x−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+100 \cdot 2x=1040\\ y=x-2 \end{cases}
{20y+50x+50x⋅2=1040y=x−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+50x \cdot 2=1040\\ y=x-2 \end{cases}{20y+50x+50x⋅2=1040y=x−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+50x \cdot 2=1040\\ y=x-2 \end{cases}
{20y+50x+100⋅2x=1040x=y−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+100 \cdot 2x=1040\\ x=y-2 \end{cases}{20y+50x+100⋅2x=1040x=y−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+100 \cdot 2x=1040\\ x=y-2 \end{cases}
{20y+50x+50x⋅2=1040x=y−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+50x \cdot 2=1040\\ x=y-2 \end{cases}{20y+50x+50x⋅2=1040x=y−2\displaystyle \begin{cases} 20y+50x+50x \cdot 2=1040\\ x=y-2 \end{cases}
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji określonej dla każdego . Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Wyznacz zbiór wartości funkcji .
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Dla każdego argumentu z przedziału funkcja przyjmuje wartości ujemne.
P
F
Funkcja 𝑓 ma trzy miejsca zerowe.
Najmniejsza wartość funkcji w przedziale jest równa
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
0000
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są: punkt oraz okrąg o równaniu .
Odległość punktu od środka tego okręgu jest równa
13131313
125\sqrt{125}125\sqrt{125}
265\sqrt{265}265\sqrt{265}
Równanie okręgu
Basen ma długość . W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa . Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość basenu zmienia się wraz z odległością od brzegu w sposób opisany funkcją:
Odległość jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości i są wyrażone w metrach.
Największa głębokość basenu jest równa
5,4 m5{,}4\ \text{m}5,4 m5{,}4\ \text{m}
3,6 m3{,}6\ \text{m}3,6 m3{,}6\ \text{m}
2,2 m2{,}2\ \text{m}2,2 m2{,}2\ \text{m}
1,8 m1{,}8\ \text{m}1,8 m1{,}8\ \text{m}
Zadania z treścią
Oblicz wartość współczynnika oraz wartość współczynnika .
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .
Wykresem funkcji jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne
(1,2)\left(1,2\right)(1,2)\left(1,2\right)
(−1,2)\left(-1,2\right)(−1,2)\left(-1,2\right)
(1,−2)\left(1,-2\right)(1,−2)\left(1,-2\right)
(−1,−2)\left(-1,-2\right)(−1,−2)\left(-1,-2\right)
Wierzchołek wykresu funkcji kwadratowej
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−∞,2]\left(-\infty,2\right](−∞,2]\left(-\infty,2\right]
(−∞,2)\left(-\infty,2\right)(−∞,2)\left(-\infty,2\right)
(2,+∞)\left(2,+\infty\right)(2,+∞)\left(2,+\infty\right)
[2,+∞)\left[2,+\infty\right)[2,+∞)\left[2,+\infty\right)
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Dany jest ciąg określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Pięćdziesiątym wyrazem ciągu jest
7493\displaystyle \frac{7^{49}}{3} 3749\displaystyle \frac{7^{49}}{3}
7503\displaystyle \frac{7^{50}}{3} 3750\displaystyle \frac{7^{50}}{3}
7513\displaystyle \frac{7^{51}}{3} 3751\displaystyle \frac{7^{51}}{3}
7523\displaystyle \frac{7^{52}}{3} 3752\displaystyle \frac{7^{52}}{3}
Obliczanie wyrazu ciągu
Ciąg jest geometryczny
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu jest równa .
P,P
P,F
F,P
F,F
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dana jest prosta o równaniu , przechodząca przez punkt .
Współczynnik w równaniu tej prostej jest równy
6666
(−10)\left(-10\right)(−10)\left(-10\right)
8888
Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej (lub brakujących współczynników)
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg jest
A,1A,1A,1A,1
A,2A,2A,2A,2
A,3A,3A,3A,3
B,1B,1B,1B,1
B,2B,2B,2B,2
B,3B,3B,3B,3
C,1C,1C,1C,1
C,2C,2C,2C,2
C,3C,3C,3C,3
Najmniejszą wartością , dla której wyraz jest większy od , jest
9999
7777
26262626
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Suma początkowych wyrazów ciągu jest równa dla równego
2323 2323
11111111
Suma ciągu arytmetycznego
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , dane są:
prosta o równaniu
prosta o równaniu .
Proste i
się pokrywają.
nie mają punktów wspólnych.
są prostopadłe.
przecinają się pod kątem 30∘30^\circ 30∘30^\circ .
Proste prostopadłe i równoległe
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
20202020
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy . Z pojemnika losujemy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
49\displaystyle \frac{4}{9} 94\displaystyle \frac{4}{9}
45\displaystyle \frac{4}{5} 54\displaystyle \frac{4}{5}
19\displaystyle \frac{1}{9} 91\displaystyle \frac{1}{9}
14\displaystyle \frac{1}{4} 41\displaystyle \frac{1}{4}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Kąt ma miarę , a kąt ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta jest równa
30∘30^\circ 30∘30^\circ
40∘40^\circ 40∘40^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Dany jest trójkąt o bokach długości oraz .
Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Twierdzenie Cosinusów
W trójkącie bok ma długość , a bok ma długość . Dwusieczna kąta przecina bok w punkcie takim, że (zobacz rysunek).
Odcinek ma długość
6423\displaystyle \frac{64}{23} 2364\displaystyle \frac{64}{23}
165\displaystyle \frac{16}{5} 516\displaystyle \frac{16}{5}
234\displaystyle \frac{23}{4} 423\displaystyle \frac{23}{4}
9225\displaystyle \frac{92}{25} 2592\displaystyle \frac{92}{25}
Twierdzenie o dwusiecznej w trójkącie
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
przychód (w złotych) z tygodniowej sprzedaży wiatraków można opisać funkcją
koszt (w złotych) produkcji wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją .
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej wiatraków.
Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
Firma zatrudnia osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Średnia miesięczna płaca brutto w firmie jest równa
4 593,75 zł4\ 593{,}75\ \text{zł}4 593,75 zł4\ 593{,}75\ \text{zł}
4 800,00 zł4\ 800{,}00\ \text{zł}4 800,00 zł4\ 800{,}00\ \text{zł}
5 360,00 zł5\ 360{,}00\ \text{zł}5 360,00 zł5\ 360{,}00\ \text{zł}
2 399,33 zł2\ 399{,}33\ \text{zł}2 399,33 zł2\ 399{,}33\ \text{zł}
Średnia arytmetyczna / ważona
Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy jest równa
4 000 zł4\ 000\ \text{zł}4 000 zł4\ 000\ \text{zł}
4 800 zł4\ 800\ \text{zł}4 800 zł4\ 800\ \text{zł}
5 000 zł5\ 000\ \text{zł}5 000 zł5\ 000\ \text{zł}
5 500 zł5\ 500\ \text{zł}5 500 zł5\ 500\ \text{zł}
Mediana
Liczba pracowników firmy , których miesięczna płaca brutto nie przewyższa ł, stanowi (w zaokrągleniu do )
91%91\%91%91\% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
78%78\%78%78\% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
53%53\%53%53\% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
22%22\%22%22\% liczby wszystkich pracowników tej firmy.
Ustalanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość , a każda jego krawędź boczna ma długość .
Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba przy dzieleniu przez daje resztę .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
