Matura (maj 2016, poziom rozszerzony, (stara formuła))

Niech . Wyznacz w zależności od .

Wielomian jest podzielny przez każdy z dwumianów i . Oblicz wartości współczynników i oraz rozwiąż nierówność .

Rozwiąż równanie w przedziale .

Ciąg jest arytmetyczny, a ciąg jest geometryczny. Oblicz i .

W trapezie równoramiennym , w którym , dane są , , . Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt , gdzie jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu.

Punkty i są wierzchołkami trójkąta . Wysokości trójkąta przecinają się w punkcie . Oblicz pole tego trójkąta.

Reszta z dzielenia liczby naturalnej przez jest równa . Reszta z dzielenia liczby naturalnej przez jest równa . Uzasadnij, że liczba jest podzielna przez .

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie wysokość jest równa , a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dany jest okrąg o średnicy i środku oraz dwa okręgi o średnicach i . Okrąg o środku i promieniu ma z każdym z danych okręgów dokładnie jeden punkt wspólny (zobacz rysunek). Wykaż, że .

W urnie znajduje się kul: białych, czerwonych i zielone. Z tej urny losujemy bez zwracania kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że co najmniej dwie z wylosowanych kul są tego samego koloru.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry , przy czym cyfra występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest .