Matura (grudzień 2022, poziom rozszerzony, próbna, Formuła 2023)

Oblicz

Funkcja jest określona wzorem dla każdego . Fragment wykresu funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje w przedziale .

Funkcja jest określona wzorem dla każdego . Fragment wykresu funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru , dla których równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej oraz dla każdej liczby rzeczywistej , spełniających warunek , prawdziwa jest nierówność

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe . Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo torebek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Rozwiąż równanie

W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki , i tego trójkąta w punktach – odpowiednio – oraz . Punkt jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach oraz można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny.

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej litrów i nie może przekroczyć litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji litrów dziennie przeciętny koszt (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

gdzie .

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Rozwiąż nierówność

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunek

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze takim, że . Przez krawędź podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do ściany bocznej .

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Dany jest trapez o podstawach i , w którym oraz ramię ma długość . Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu . Miary kątów i tego trapezu spełniają warunek

Oblicz pole i obwód trapezu .

Prosta o równaniu przecina parabolę o równaniu w punktach oraz . Pierwsza współrzędna punktu jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu jest liczbą ujemną. Prosta jest równoległa do prostej i styczna do danej paraboli w punkcie .

Oblicz odległość punktu od prostej oraz pole trójkąta .