(nowa formuła)
Wielomian określony wzorem
jest podzielny przez (x−1)(x-1)(x−1)(x-1) i z dzielenia przez (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) daje resztę równą 6666.
jest podzielny przez (x+1)(x+1)(x+1)(x+1) i z dzielenia przez (x−1)(x-1)(x−1)(x-1) daje resztę równą 6666.
jest podzielny przez (x−1)(x-1)(x−1)(x-1) i jest podzielny przez (x+1)(x+1)(x+1)(x+1).
nie jest podzielny ani przez (x−1)(x-1)(x−1)(x-1), ani przez (x+1)(x+1)(x+1)(x+1).
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej . Granica tego ciągu jest równa
3333
15\displaystyle \frac{1}{5} 51\displaystyle \frac{1}{5}
35\displaystyle \frac{3}{5} 53\displaystyle \frac{3}{5}
−511\displaystyle - \frac{5}{11} −115\displaystyle - \frac{5}{11}
Granica ciągu
Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe
215\displaystyle \frac{2}{15} 152\displaystyle \frac{2}{15}
45\displaystyle \frac{4}{5} 54\displaystyle \frac{4}{5}
1315\displaystyle \frac{13}{15} 1513\displaystyle \frac{13}{15}
Prawdopodobieństwo całkowite
Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego do postaci współczynnik jest równy
6666
36363636
868\sqrt{6}868\sqrt{6}
12612\sqrt{6}12612\sqrt{6}
Równość wielomianów i wyznaczanie współczynników wielomianu
W trójkącie bok jest razy dłuższy od boku , a długość boku stanowi długości boku . Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta .
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Równanie z wartością bezwzględną
Dany jest trójkąt równoramienny , w którym , a punkt jest środkiem podstawy . Okrąg o środku jest styczny do prostej w punkcie . Punkt leży na boku , punkt leży na boku , odcinek jest styczny do rozważanego okręgu oraz (zobacz rysunek).
Wykaż, że .
Dowodzenie w planimetrii
Liczby dodatnie i spełniają równość . Wykaż, że .
Dowodzenie równań / równości
Rozwiąż równanie dla .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym spełniona jest równość . Wyrazy są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz .
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Dane jest równanie kwadratowe z niewiadomą . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których różne rozwiązania i tego równania istnieją i spełniają warunek
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Prosta o równaniu przecina okrąg o równaniu w punktach i . Punkt jest środkiem cięciwy . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku i skali .
Geometria analityczna - jednokładność
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry i dokładnie dwie cyfry .
Kombinatoryka - liczby o narzuconych cyfrach i/lub sumie/iloczynie cyfr.
Podstawą ostrosłupa czworokątnego jest trapez . Ramiona tego trapezu mają długości i , a miara kąta jest równa . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt , taki, że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię . Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Optymalizacja w planimetrii
