Wskaż nierówność, która opisuje sumę przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej.
∣x−2∣>4|x-2|>4∣x−2∣>4|x-2|>4
∣x−2∣<4|x-2|<4∣x−2∣<4|x-2|<4
∣x−4∣<2|x-4|<2∣x−4∣<2|x-4|<2
∣x−4∣>2|x-4|>2∣x−4∣>2|x-4|>2
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Na seans filmowy sprzedano biletów, w tym ulgowych. Jaki procent sprzedanych biletów stanowiły bilety ulgowe?
22%22\%22%22\%
33%33\%33%33\%
45%45\%45%45\%
63%63\%63%63\%
Ustalanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
liczby jest równe . Wtedy
x=240x=240x=240x=240
x=150x=150x=150x=150
x=24x=24x=24x=24
x=15x=15x=15x=15
Znajdywanie liczby, gdy dany jest jej procent
Iloraz jest równy
2−272^{-27}2−272^{-27}
2−32^{-3}2−32^{-3}
232^{3}232^{3}
2272^{27}2272^{27}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
O liczbie wiadomo, że . Zatem
x=2x=2x=2x=2
x=12\displaystyle x= \frac{1}{2} x=21\displaystyle x= \frac{1}{2}
x=39x=3^{9}x=39x=3^{9}
x=93x=9^{3}x=93x=9^{3}
Definicja logarytmu
Wyrażenie jest równe iloczynowi
(3x+y)(9x2−3xy+y2)\left(3x+y\right)\left(9x^2-3xy+y^2\right)(3x+y)(9x2−3xy+y2)\left(3x+y\right)\left(9x^2-3xy+y^2\right)
(3x+y)(9x2+3xy+y2)\left(3x+y\right)\left(9x^2+3xy+y^2\right)(3x+y)(9x2+3xy+y2)\left(3x+y\right)\left(9x^2+3xy+y^2\right)
(3x−y)(9x2+3xy+y2)\left(3x-y\right)\left(9x^2+3xy+y^2\right)(3x−y)(9x2+3xy+y2)\left(3x-y\right)\left(9x^2+3xy+y^2\right)
(3x−y)(9x2−3xy+y2)\left(3x-y\right)\left(9x^2-3xy+y^2\right)(3x−y)(9x2−3xy+y2)\left(3x-y\right)\left(9x^2-3xy+y^2\right)
Wzory skróconego mnożenia: potęga trzeciego stopnia
Dane są wielomiany: oraz . Wielomian jest równy
2x5−6x4+2x32x^5-6x^4+2x^32x5−6x4+2x32x^5-6x^4+2x^3
2x6−6x4+2x32x^6-6x^4+2x^32x6−6x4+2x32x^6-6x^4+2x^3
2x5+3x+12x^5+3x+12x5+3x+12x^5+3x+1
2x5+6x4+2x32x^5+6x^4+2x^32x5+6x4+2x32x^5+6x^4+2x^3
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Wierzchołek paraboli o równaniu ma współrzędne
(−1,0)\left(-1,0\right)(−1,0)\left(-1,0\right)
(0,−1)\left(0,-1\right)(0,−1)\left(0,-1\right)
(1,0)\left(1,0\right)(1,0)\left(1,0\right)
(0,1)\left(0,1\right)(0,1)\left(0,1\right)
Wierzchołek wykresu funkcji kwadratowej
Do wykresu funkcji należy punkt
(−1,−4)\left(-1,-4\right)(−1,−4)\left(-1,-4\right)
(−1,1)\left(-1,1\right)(−1,1)\left(-1,1\right)
(−1,−1)\left(-1,-1\right)(−1,−1)\left(-1,-1\right)
(−1,−2)\left(-1,-2\right)(−1,−2)\left(-1,-2\right)
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
Rozwiązaniem równania jest liczba
21212121
7777
173\displaystyle \frac{17}{3} 317\displaystyle \frac{17}{3}
0000
Równania wymierne
Zbiór rozwiązań nierówności przedstawiony jest na rysunku
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Dla ciąg jest określony wzorem: . Wtedy
a3<0a_3<0a3<0a_3<0
a3=0a_3=0a3=0a_3=0
a3=1a_3=1a3=1a_3=1
a3>1a_3>1a3>1a_3>1
Obliczanie wyrazu ciągu
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest równy , a jedenasty jest równy . Różnica tego ciągu jest równa
9999
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
2222
25\displaystyle \frac{2}{5} 52\displaystyle \frac{2}{5}
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
W ciągu geometrycznym dane są: i . Iloraz tego ciągu jest równy
12121212
12\displaystyle \frac{1}{2 } 21\displaystyle \frac{1}{2 }
−12\displaystyle - \frac{1}{2} −21\displaystyle - \frac{1}{2}
−12-12−12-12
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Kąt jest ostry i . Wtedy jest równy
19\displaystyle \frac{1}{9} 91\displaystyle \frac{1}{9}
89\displaystyle \frac{8}{9} 98\displaystyle \frac{8}{9}
179\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{9} 917\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{9}
659\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{9} 965\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{9}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt prostokątny (patrz rysunek). Wtedy jest równy
2\sqrt{2}2\sqrt{2}
23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} 32\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}
12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} 21\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
W trójkącie równoramiennym dane są oraz . Wysokość opuszczona z wierzchołka jest równa
13\sqrt{13}13\sqrt{13}
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
1111
5555
Trójkąt równoramienny
Oblicz długość odcinka wiedząc, że i , , .
∣AE∣=2|AE|=2∣AE∣=2|AE|=2
∣AE∣=4|AE|=4∣AE∣=4|AE|=4
∣AE∣=6|AE|=6∣AE∣=6|AE|=6
∣AE∣=12|AE|=12∣AE∣=12|AE|=12
Podobieństwo trójkątów
Dane są punkty oraz . Długość odcinka jest równa
208\sqrt{208}208\sqrt{208}
52\sqrt{52}52\sqrt{52}
45\sqrt{45}45\sqrt{45}
40\sqrt{40}40\sqrt{40}
Długość odcinka i środek odcinka
Promień okręgu o równaniu jest równy
3333
4444
Równanie okręgu
Wykres funkcji liniowej określonej wzorem jest prostą prostopadłą do prostej o równaniu:
y=−13x−1\displaystyle y=- \frac{1}{3}x-1 y=−31x−1\displaystyle y=- \frac{1}{3}x-1
y=13x+1\displaystyle y= \frac{1}{3}x+1 y=31x+1\displaystyle y= \frac{1}{3}x+1
y=3x+1y=3x+1y=3x+1y=3x+1
y=3x−1y=3x-1y=3x−1y=3x-1
Proste prostopadłe
Prosta o równaniu przechodzi przez punkt . Wtedy
m=7m=7m=7m=7
m=212\displaystyle m=2 \frac{1}{2} m=221\displaystyle m=2 \frac{1}{2}
m=−12\displaystyle m=- \frac{1}{2} m=−21\displaystyle m=- \frac{1}{2}
m=−17m=-17m=−17m=-17
Równanie prostej - zadania z parametrem
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe . Długość krawędzi tego sześcianu jest równa
3,5 cm3{,}5\ \text{cm}3,5 cm3{,}5\ \text{cm}
4 cm4\ \text{cm}4 cm4\ \text{cm}
4,5 cm4{,}5\ \text{cm}4,5 cm4{,}5\ \text{cm}
5 cm5\ \text{cm}5 cm5\ \text{cm}
Sześcian
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: jest równa . Wtedy
x=3x=3x=3x=3
x=4x=4x=4x=4
x=5x=5x=5x=5
Średnia arytmetyczna / ważona
Wybieramy liczbę ze zbioru oraz liczbę ze zbioru . Ile jest takich par , że iloczyn jest liczbą nieparzystą?
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rozwiąż nierówność
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty i są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu . Wyznacz równanie prostej .
Kwadrat w układzie współrzędnych
Kąt jest ostry i . Oblicz .
Wykaż, że dla każdego ciąg jest arytmetyczny.
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Trójkąty i są równoboczne. Punkty i leżą na jednej prostej. Punkty i są środkami odcinków i (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Dowodzenie w planimetrii
Uczeń przeczytał książkę liczącą stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o stron więcej, to przeczytałby tę książkę o dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.
Układ równań - zadanie z treścią
Punkty i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej . Wierzchołek leży na prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu .
Trójkąt prostokątny w układzie współrzędnych
Pole trójkąta prostokątnego jest równe . Jedna przyprostokątna jest o dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Trójkąt prostokątny