(nowa formuła)
Liczba jest równa
2222
4444
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
232\sqrt{3}232\sqrt{3}
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
dla . Wtedy
limn→∞an=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n= \frac{1}{2} n→∞liman=21\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n= \frac{1}{2}
limn→∞an=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n= 0 n→∞liman=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n= 0
limn→∞an=−∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty n→∞liman=−∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=-\infty
limn→∞an=−32\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n= -\frac{3}{2} n→∞liman=−23\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n= -\frac{3}{2}
Granica ciągu
Odcinek jest wysokością trójkąta , w którym (zobacz rysunek). Okrąg o środku i promieniu jest styczny do prostej . Okrąg ten przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach i .
Zaznaczony na rysunku kąt wpisany w okrąg jest równy
37,5∘37{,}5^\circ37,5∘37{,}5^\circ
45∘45^\circ45∘45^\circ
52,5∘52{,}5^\circ52,5∘52{,}5^\circ
60∘60^\circ60∘60^\circ
Okrąg - styczne, sieczne i cięciwy
Dane są punkt i wektor . Punkt , taki, że , ma współrzędne
A=(5,−8)A=\left(5,-8\right)A=(5,−8)A=\left(5,-8\right)
A=(−13,22)A=\left(-13,22\right)A=(−13,22)A=\left(-13,22\right)
A=(9,−15)A=\left(9,-15\right)A=(9,−15)A=\left(9,-15\right)
A=(12,24)A=\left(12,24\right)A=(12,24)A=\left(12,24\right)
Wektory
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa . Oblicz wartość współczynnika .
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
W trójkącie ostrokątnym bok ma długość , długość boku jest równa oraz . Dwusieczna kąta przecina bok trójkąta w punkcie .
Wykaż, że długość odcinka jest równa .
Dowodzenie w planimetrii
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość , umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna , równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka kuli od płaszczyzny , tj. długość najkrótszego spośród odcinków , gdzie jest punktem płaszczyzny .
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Rozwiąż równanie w przedziale .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
W pudełku znajduje się piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od do . Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez . Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste i , przy czym , spełniające warunek
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty i , którego środek leży na prostej o równaniu .
Równanie okręgu
Liczby są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa . Ciąg jest geometryczny. Wyznacz liczby .
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej . Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Optymalizacja w stereometrii
