Cenę nart obniżono o , a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze . W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o
44%44\%44%44\%
50%50\%50%50\%
56%56\%56%56\%
60%60\%60%60\%
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
Liczba jest równa
−8-8−8-8
−4-4−4-4
2222
4444
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
19−10219-10\sqrt{2}19−10219-10\sqrt{2}
17−4217-4\sqrt{2}17−4217-4\sqrt{2}
15+14215+14\sqrt{2}15+14215+14\sqrt{2}
19+6219+6\sqrt{2}19+6219+6\sqrt{2}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Iloczyn jest równy
−6-6−6-6
−1-1−1-1
1111
Definicja logarytmu
Wskaż liczbę, która spełnia równanie .
x=−1x=-1x=−1x=-1
x=1x=1x=1x=1
x=2x=2x=2x=2
x=−2x=-2x=−2x=-2
Równanie z wartością bezwzględną
Liczby są różnymi rozwiązaniami równania . Suma jest równa
−72\displaystyle - \frac{7}{2} −27\displaystyle - \frac{7}{2}
−74\displaystyle - \frac{7}{4} −47\displaystyle - \frac{7}{4}
−32\displaystyle - \frac{3}{2} −23\displaystyle - \frac{3}{2}
−34\displaystyle - \frac{3}{4} −43\displaystyle - \frac{3}{4}
Równanie kwadratowe - postać ogólna
Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej są
x=7, x=−2x=7,\ x=-2x=7, x=−2x=7,\ x=-2
x=−7, x=−2x=-7,\ x=-2x=−7, x=−2x=-7,\ x=-2
x=7, x=2x=7,\ x=2x=7, x=2x=7,\ x=2
x=−7, x=2x=-7,\ x=2x=−7, x=2x=-7,\ x=2
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie . Wówczas spełniony jest warunek
f(1)>1f(1)>1f(1)>1f(1)>1
f(2)=2f(2)=2f(2)=2f(2)=2
f(3)<3f(3)<3f(3)<3f(3)<3
f(4)=4f(4)=4f(4)=4f(4)=4
Znaczenie współczynników 𝑎 i 𝑏
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
3−1\sqrt{3}-13−1\sqrt{3}-1
−36\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{6} −63\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{6}
3−16\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{6} 63−1\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{6}
23−36\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{6} 623−3\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-3}{6}
Wartości funkcji trygonometrycznych znanych kątów ostrych
W trójkącie prostokątnym odcinek jest przeciwprostokątną i oraz . Wówczas sinus kąta jest równy
1213\displaystyle \frac{12}{13} 1312\displaystyle \frac{12}{13}
513\displaystyle \frac{5}{13} 135\displaystyle \frac{5}{13}
512\displaystyle \frac{5}{12} 125\displaystyle \frac{5}{12}
1312\displaystyle \frac{13}{12} 1213\displaystyle \frac{13}{12}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
W trójkącie równoramiennym dane są oraz wysokość . Podstawa tego trójkąta ma długość
6666
2212\sqrt{21}2212\sqrt{21}
2292\sqrt{29}2292\sqrt{29}
14141414
Trójkąt równoramienny
W trójkącie prostokątnym dwa dłuższe boki mają długości i . Obwód tego trójkąta jest równy
16616\sqrt{6}16616\sqrt{6}
14614\sqrt{6}14614\sqrt{6}
12+4612+4\sqrt{6}12+4612+4\sqrt{6}
12+2612+2\sqrt{6}12+2612+2\sqrt{6}
Trójkąt prostokątny
Odcinki i są równoległe i , , (zobacz rysunek). Długość odcinka jest równa
107\displaystyle \frac{10}{7} 710\displaystyle \frac{10}{7}
145\displaystyle \frac{14}{5} 514\displaystyle \frac{14}{5}
3333
5555
Podobieństwo trójkątów
Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu jest równe
25252525
50505050
75757575
100100100100
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Punkty dzielą okrąg na równe łuki. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego jest równa
90∘90^\circ90∘90^\circ
60∘60^\circ60∘60^\circ
45∘45^\circ45∘45^\circ
30∘30^\circ30∘30^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę
40∘40^\circ 40∘40^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
70∘70^\circ 70∘70^\circ
Kąty w wielokątach
Dany jest ciąg określony wzorem
dla . Wówczas wyraz tego ciągu jest równy
−325\displaystyle - \frac{3}{25} −253\displaystyle - \frac{3}{25}
325\displaystyle \frac{3}{25} 253\displaystyle \frac{3}{25}
−725\displaystyle - \frac{7}{25} −257\displaystyle - \frac{7}{25}
725\displaystyle \frac{7}{25} 257\displaystyle \frac{7}{25}
Obliczanie wyrazu ciągu
Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe . Objętość tego sześcianu jest równa
8888
24242424
64646464
Sześcian
Tworząca stożka ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Wysokość tego stożka jest równa
222\sqrt{2}222\sqrt{2}
16π16\pi16π16\pi
424\sqrt{2}424\sqrt{2}
8π8\pi8π8\pi
Stożek
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu .
y=12x\displaystyle y= \frac{1}{2}x y=21x\displaystyle y= \frac{1}{2}x
y=−12x\displaystyle y=- \frac{1}{2}x y=−21x\displaystyle y=- \frac{1}{2}x
y=2xy=2xy=2xy=2x
y=−2xy=-2xy=−2xy=-2x
Proste równoległe
Punkt ma współrzędne . Punkt jest symetryczny do punktu względem osi , a punkt jest symetryczny do punktu względem osi . Punkt ma współrzędne
(−5,−2012)\left(-5,-2012\right)(−5,−2012)\left(-5,-2012\right)
(−2012,−5)\left(-2012,-5\right)(−2012,−5)\left(-2012,-5\right)
(−5,2012)\left(-5,2012\right)(−5,2012)\left(-5,2012\right)
(−2012,5)\left(-2012,5\right)(−2012,5)\left(-2012,5\right)
Obrazy prostych, punktów i okręgów w symetrii osiowej i środkowej
Na okręgu o równaniu leży punkt
A=(−2,5)A=\left(-2,5\right)A=(−2,5)A=\left(-2,5\right)
B=(2,−5)B=\left(2,-5\right)B=(2,−5)B=\left(2,-5\right)
C=(2,−7)C=\left(2,-7\right)C=(2,−7)C=\left(2,-7\right)
D=(7,−2)D=\left(7,-2\right)D=(7,−2)D=\left(7,-2\right)
Równanie okręgu
Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne mają być tego samego koloru, a pas znajdujący się między nimi ma być innego koloru. Liczba różnych takich flag, które można uszyć, mając do dyspozycji tkaniny w kolorach, jest równa
99999999
90909090
19191919
Kontekst praktyczny
Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa zł. Za pięć z tych akcji zapłacono zł. Cena szóstej akcji jest równa
400400400400 zł
500500500500 zł
600600600600 zł
700700700700 zł
Średnia arytmetyczna / ważona
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste spełniają nierówności , to
Dowodzenie nierówności
Liczby i są pierwiastkami wielomianu . Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Pierwiastki wielomianu – sprawdzanie i wyznaczanie parametru
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach i .
Symetralna odcinka
W trójkącie poprowadzono dwusieczne kątów i . Dwusieczne te przecinają się w punkcie . Uzasadnij, że kąt jest rozwarty.
Dowodzenie w planimetrii
Ze zbioru liczb losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia , polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Ciąg jest arytmetyczny, a ciąg jest geometryczny. Oblicz oraz .
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: charakteryzacja / wzór ogólny / suma
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość . Kąt jest równy . Oblicz objętość ostrosłupa przedstawionego na poniższym rysunku.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Miasto i miasto łączy linia kolejowa długości km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
Układy równań - prędkość
