Matura (maj 2023, poziom rozszerzony, Formuła 2023)

W chwili początkowej masa substancji jest równa gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej funkcja określa masę substancji w gramach po pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od grama.

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe .

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Punkt należy do wykresu funkcji .

Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Liczby rzeczywiste oraz spełniają jednocześnie równanie i nierówność . Wykaż, że oraz .

Dany jest trójkąt prostokątny , w którym oraz . Punkty i leżą na bokach – odpowiednio – i tak, że (zobacz rysunek). Odcinek przecina wysokość tego trójkąta w punkcie , a ponadto .

Wykaż, że .

Rozwiąż równanie

Dany jest sześcian o krawędzi długości . Punkt jest punktem przecięcia przekątnych i ściany bocznej (zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta poprowadzoną z punktu na bok tego trójkąta.

Czworokąt , w którym i , jest opisany na okręgu. Przekątna tego czworokąta tworzy z bokiem kąt o mierze , natomiast z bokiem – kąt ostry, którego sinus jest równy .

Oblicz obwód czworokąta .

Rozwiąż nierówność

Wskazówka: skorzystaj z tego, że dla każdej liczby rzeczywistej .

Określamy kwadraty następująco:

• jest kwadratem o boku długości

• jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku

• jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej ,

• jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku .

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek .

Funkcja jest określona wzorem

dla każdej liczby dodatniej .

Wykaż, że funkcję można równoważnie przekształcić do postaci .

Funkcja jest określona wzorem

dla każdej liczby dodatniej .

Oblicz najmniejszą wartość funkcji określonej dla każdej liczby dodatniej .

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji można przedstawić w postaci .

W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu przecina parabolę o równaniu w punktach oraz . Odcinek jest średnicą okręgu . Punkt leży na okręgu nad prostą , a kąt jest ostry i ma miarę taką, że (zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu .