Która z poniższych równości jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej ?
x2=x\sqrt{x^2}=xx2=x\sqrt{x^2}=x
∣−x∣=x|-x|=x∣−x∣=x|-x|=x
∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1
(x+1)2=∣x+1∣\sqrt{\left(x+1\right)^2}=|x+1|(x+1)2=∣x+1∣\sqrt{\left(x+1\right)^2}=|x+1|
Wartość bezwzględna
Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym spółki wyraża stosunek . Jaką część kapitału zakładowego stanowi udział największego inwestora?
12%12\%12%12\%
32%32\%32%32\%
48%48\%48%48\%
52%52\%52%52\%
Ustalanie, jakim procentem jednej liczby jest druga
Dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest równe
(a−1)(b−1)\left(a-1\right)\left(b-1\right)(a−1)(b−1)\left(a-1\right)\left(b-1\right)
(a+1)(b−1)\left(a+1\right)\left(b-1\right)(a+1)(b−1)\left(a+1\right)\left(b-1\right)
(a−1)(b+1)\left(a-1\right)\left(b+1\right)(a−1)(b+1)\left(a-1\right)\left(b+1\right)
(a+1)(b+1)\left(a+1\right)\left(b+1\right)(a+1)(b+1)\left(a+1\right)\left(b+1\right)
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Na prostej o równaniu leżą punkty i . Wynika stąd, że
a=−1a=-1a=−1a=-1 i b=1b=1 b=1b=1
a=1a=1a=1a=1 i b=−1b=-1 b=−1b=-1
a=−1a=-1a=−1a=-1 i b=−1b=-1 b=−1b=-1
a=1a=1a=1a=1 i b=1b=1 b=1b=1
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Dane są liczby: , , . Który z poniższych warunków jest prawdziwy?
c<b<ac<b<ac<b<ac<b<a
b<c<ab<c<ab<c<ab<c<a
a<c<ba<c<ba<c<ba<c<b
c<a<bc<a<bc<a<bc<a<b
Definicja logarytmu
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby z przedziału . Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział
[−10,2]\left[-10,2\right][−10,2]\left[-10,2\right]
(−10,2]\left(-10,2\right](−10,2]\left(-10,2\right]
[2,10]\left[2,10\right][2,10]\left[2,10\right]
(2,10]\left(2,10\right](2,10]\left(2,10\right]
Określanie własności funkcji ze wzoru (bez wykresu)
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba . Wówczas jest równe
0000
11 11
−98-98−98-98
98989898
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Liczba jest równa
1111
3333
6666
9999
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Dane są wielomiany: , i . Stopień wielomianu jest równy
7777
12121212
Stopień wielomianu
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli o równaniu jest równa
−8-8−8-8
−4-4−4-4
2222
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
W ciągu geometrycznym , określonym dla , wyraz , natomiast iloraz . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
−1705-1705−1705-1705
−1023-1023−1023-1023
1705170517051705
5115511551155115
Suma ciągu geometrycznego
W ciągu arytmetycznym , określonym dla , dane są dwa wyrazy: i . Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
36363636
40404040
13131313
20202020
Suma ciągu arytmetycznego
Miara kąta spełnia warunek: . Wyrażenie jest równe
2cos2α2\cos^2\alpha2cos2α2\cos^2\alpha
2sin2α2\sin^2\alpha2sin2α2\sin^2\alpha
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W trapezie , w którym , kąt jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: , , . Pole tego trapezu jest równe
4+234+2\sqrt{3}4+234+2\sqrt{3}
10310\sqrt{3}10310\sqrt{3}
20320\sqrt{3}20320\sqrt{3}
24+6324+6\sqrt{3}24+6324+6\sqrt{3}
Trapez prostokątny
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych na egzaminie przez studentów grupy, liczącej studentów, jest równa . Dwudziestu studentów tworzących grupę otrzymało w sumie punktów. Zatem średni wynik z tego egzaminu, liczony łącznie dla wszystkich studentów z obu grup, jest równy
20202020 pkt
30303030 pkt
50505050 pkt
60606060 pkt
Średnia arytmetyczna / ważona
W sześcianie poprowadzono z wierzchołka dwie przekątne sąsiednich ścian, oraz (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa
30∘30^\circ 30∘30^\circ
45∘45^\circ 45∘45^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
90∘90^\circ 90∘90^\circ
Sześcian
Punkt jest środkiem okręgu (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa
120∘120^\circ 120∘120^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości i , opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy
108\sqrt{108}108\sqrt{108}
152\displaystyle \frac{15}{2} 215\displaystyle \frac{15}{2}
15151515
1082\displaystyle \frac{\sqrt{108}}{2} 2108\displaystyle \frac{\sqrt{108}}{2}
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie
Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest kwadratem liczby całkowitej, jest równe
430\displaystyle \frac{4}{30} 304\displaystyle \frac{4}{30}
530\displaystyle \frac{5}{30} 305\displaystyle \frac{5}{30}
630\displaystyle \frac{6}{30} 306\displaystyle \frac{6}{30}
1030\displaystyle \frac{10}{30} 3010\displaystyle \frac{10}{30}
Prawdopodobieństwo klasyczne
W trójkącie bok ma długość . Prosta równoległa do boku przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach oraz (zobacz rysunek) w taki sposób, że i . Wtedy długość odcinka jest równa
17171717
Podobieństwo trójkątów
Na planie miasta, narysowanym w skali , park jest prostokątem o bokach i . Stąd wynika, że ten park ma powierzchnię
20 000 m220\ 000\ \text{m}^220 000 m220\ 000\ \text{m}^2
40 000 m240\ 000\ \text{m}^240 000 m240\ 000\ \text{m}^2
200 000 m2200\ 000\ \text{m}^2200 000 m2200\ 000\ \text{m}^2
400 000 m2400\ 000\ \text{m}^2400 000 m2400\ 000\ \text{m}^2
Prostokąt
Proste o równaniach: oraz są równoległe, gdy
m=−1m=-1m=−1m=-1
m=−13\displaystyle m=- \frac{1}{3} m=−31\displaystyle m=- \frac{1}{3}
m=13\displaystyle m= \frac{1}{3} m=31\displaystyle m= \frac{1}{3}
m=1m=1m=1m=1
Proste równoległe
Punkty i są punktami styczności okręgu z osiami układu współrzędnych. Które z poniższych równań opisuje ten okrąg?
(x−2)2+(y−2)2=4\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4(x−2)2+(y−2)2=4\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4
(x−2)2+(y+2)2=4\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=4(x−2)2+(y+2)2=4\left(x-2\right)^2+\left(y+2\right)^2=4
(x+2)2+(y+2)2=4\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2=4(x+2)2+(y+2)2=4\left(x+2\right)^2+\left(y+2\right)^2=4
(x+2)2+(y−2)2=4\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4(x+2)2+(y−2)2=4\left(x+2\right)^2+\left(y-2\right)^2=4
Równanie okręgu
Objętość walca o promieniu podstawy jest równa . Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe
16π16\pi16π16\pi
24π24\pi24π24\pi
32π32\pi32π32\pi
48π48\pi48π48\pi
Walec
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Wysokość tego ostrosłupa jest równa
27272727
108108108108
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Kąt jest ostry oraz . Oblicz wartość wyrażenia .
Liczby w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę tego ciągu.
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitych:
Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Dany jest trójkąt . Odcinek jest wysokością tego trójkąta, punkt jest środkiem boku (tak jak na rysunku) i . Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny.
Dowodzenie w planimetrii
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek) przekątna podstawy ma długość . Kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Trasę etapu wyścigu kolarskiego o długości pan Nowak pokonał w czasie o godzinę i minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. Średnia wartość prędkości, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o większa od średniej wartości prędkości pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz średnie wartości prędkości, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy.
Układy równań - prędkość
Podstawą trójkąta równoramiennego jest bok , gdzie i . Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka .
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
