Formuła 2015
Liczba jest równa
5−165^{-16}5−165^{-16}
5−25^{-2}5−25^{-2}
545^4545^4
585^8585^8
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
6666
3633\sqrt[3]{6}3363\sqrt[3]{6}
6336\sqrt[3]{3}6336\sqrt[3]{3}
6636\sqrt[3]{6}6366\sqrt[3]{6}
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
(−12)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)(−21)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
2222
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia jest równa wartości wyrażenia
12xy12xy12xy12xy
(−12xy)\left(-12xy\right)(−12xy)\left(-12xy\right)
2y22y^22y22y^2
4y24y^24y24y^2
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,1)\left(-\infty,1\right)(−∞,1)\left(-\infty,1\right)
(−∞,76)\displaystyle \left(-\infty, \frac{7}{6} \right)(−∞,67)\displaystyle \left(-\infty, \frac{7}{6} \right)
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)(1,+∞)\left(1,+\infty\right)
(76,+∞)\displaystyle \left( \frac{7}{6},+\infty \right)(67,+∞)\displaystyle \left( \frac{7}{6},+\infty \right)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Suma wszystkich rozwiązań równania jest równa
(−5)\left(-5\right)(−5)\left(-5\right)
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
5555
9999
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba .Dla argumentu funkcja przyjmuje wartość .
Funkcja jest określona wzorem
g(x)=−12x−32\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x- \frac{3}{2} g(x)=−21x−23\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x- \frac{3}{2}
g(x)=−12x+32\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} g(x)=−21x+23\displaystyle g(x)= -\frac{1}{2}x+ \frac{3}{2}
g(x)=12x−32\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x- \frac{3}{2} g(x)=21x−23\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x- \frac{3}{2}
g(x)=12x+32\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2} g(x)=21x+23\displaystyle g(x)= \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2}
Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej (lub brakujących współczynników)
Na rysunku, w układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji .
Wartość wyrażenia jest równa
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
0000
3333
4444
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−5,4]\left(-5,4\right](−5,4]\left(-5,4\right]
(−4,3]\left(-4,3\right](−4,3]\left(-4,3\right]
[−4,3]\left[-4,3\right][−4,3]\left[-4,3\right]
(0,3]\left(0,3\right](0,3]\left(0,3\right]
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem , gdzie oraz są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji jest liczba .W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu jest osią symetrii wykresu funkcji .
Współczynnik jest równy
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
f(x)=12(x−4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x-6) f(x)=21(x−4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x-6)
f(x)=12(x−4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x+6) f(x)=21(x−4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)(x+6)
f(x)=12(x+4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x-6) f(x)=21(x+4)(x−6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x-6)
f(x)=12(x+4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x+6) f(x)=21(x+4)(x+6)\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)(x+6)
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej wzorem .
Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
x=−2x=-2x=−2x=-2
x=1x=1x=1x=1
x=3x=3x=3x=3
x=4x=4x=4x=4
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnica tego ciągu jest równa oraz .
Szósty wyraz ciągu jest równy
(−12)\left(-12\right)(−12)\left(-12\right)
(−8)\left(-8\right)(−8)\left(-8\right)
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg geometryczny , o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od , jest określony dla każdej liczby naturalnej . Wyrazy tego ciągu spełniają warunek .
Iloraz ciągu jest równy
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Kąt jest ostry oraz .
Tangens kąta jest równy
512\displaystyle \frac{5}{12} 125\displaystyle \frac{5}{12}
1213\displaystyle \frac{12}{13} 1312\displaystyle \frac{12}{13}
1312\displaystyle \frac{13}{12} 1213\displaystyle \frac{13}{12}
125\displaystyle \frac{12}{5} 512\displaystyle \frac{12}{5}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
1111
Wartości funkcji trygonometrycznych znanych kątów ostrych
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie i o promieniu . Punkt leży na odcinku . Kąt ma miarę , a kąt ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
20∘20^\circ 20∘20^\circ
40∘40^\circ 40∘40^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
80∘80^\circ 80∘80^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Długość łuku , na którym jest oparty kąt wpisany , jest równa
8π8\pi8π8\pi
10π10\pi10π10\pi
13π13\pi13π13\pi
20π20\pi20π20\pi
Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła, wzajemne położenie dwóch okręgów
Dany jest trapez o podstawach i takich, że . Przekątne i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).
Pole trójkąta jest równe , a pole trójkąta jest równe .
Pole trójkąta jest równe
8888
Trapez
10101010
Dany jest trójkąt , w którym , oraz (zobacz rysunek).
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
12121212
12312\sqrt{3}12312\sqrt{3}
Trójkąt
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste oraz są określone równaniami
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
Proste równoległe
Każda ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości .
Wysokość tego ostrosłupa jest równa
424\sqrt{2}424\sqrt{2}
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Objętość walca o promieniu podstawy jest równa .
Wysokość tego walca jest równa
2π2\pi2π2\pi
4π4\pi4π4\pi
Walec
Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od , w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest
13131313
50505050
75757575
107107107107
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Rozwiąż równanie
gdzie i .
Równania wymierne
Właściciel restauracji kupił kilogramów pomidorów: kg pomidorów malinowych w cenie złotych za kilogram oraz kg pomidorów cherry w cenie złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.
Równanie liniowe
W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.
Oblicz średnią arytmetyczną liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.
Średnia arytmetyczna / ważona
Oblicz medianę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.
Mediana
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej . Trzywyrazowy ciąg , gdzie jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.
Oblicz oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Wysokość podstawy jest równa . Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią kąt o mierze (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
W układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Prosta przecina oś w punkcie . Symetralna odcinka przecina oś w punkcie .
Oblicz współrzędne punktów i oraz pole trójkąta .
Trójkąt w układzie współrzędnych
