Ten typ obejmuje zadania dotyczące równania okręgu w układzie współrzędnych.

Równanie → promień

W tym wariancie z równania okręgu musimy odczytać jego promień.

Równanie → środek

W tym wariancie z równania okręgu musimy odczytać współrzędne jego środka.

Wykres → równanie

W tym wariancie z wykresu okręgu musimy odczytać jego równanie (środek i długość promienia).

Środek + promień → równanie

W tym wariancie znając środek okręgu oraz jego promień musimy wyznaczyć równanie okręgu.

Punkt na okręgu + promień → równanie

W tym wariancie znając punkt na okręgu (różny od środka) oraz jego promień musimy wskazać równanie okręgu.

Rozwiązanie polega na sprawdzeniu, które z podanych równań opisują okrąg o zadanym promieniu, a następnie zweryfikowaniu, czy dany punkt spełnia to równanie okręgu.

Punkt na okręgu + środek → równanie okręgu

W tym wariancie znamy środek okręgu oraz jeden z punktów leżących na tym okręgu, a celem jest wskazanie jego równania.

Rozwiązanie polega na sprawdzeniu, które z podanych równań opisują okrąg o zadanym środku, a następnie zweryfikowaniu, czy dany punkt spełnia to równanie okręgu lub alternatywnie skorzystaniu ze Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych i wyliczeniu promienia okręgu.

Średnica → środek okręgu

W tym wariancie znamy współrzędne końców odcinka będącego średnicą okręgu, a celem jest obliczenie współrzędnych środka okręgu.

Rozwiązanie sprowadza się do skorzystania ze Wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych.

Średnica → równanie okręgu

W tym wariancie znamy współrzędne końców odcinka będącego średnicą okręgu, a celem jest wyznaczenie równania okręgu.

Rozwiązanie polega na skorzystaniu ze Wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych w celu wyznaczenia środka okręgu oraz Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych w celu wyznaczenia promienia okręgu.

Środek + styczność do osi OX lub OY → równanie okręgu

W tym wariancie promień okręgu ustalamy w oparciu o warunek styczności do osi.

Okrąg styczny do obu osi → równanie okręgu

W tym wariancie równanie okręgu ustalamy w oparciu o punkty styczności do osi OX i OY (ich położenie w układzie współrzędnych).

Okrąg styczny do obu osi i przechodzący przez punkt → równanie okręgu

W tym wariancie wyznaczamy równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych, który dodatkowo przechodzi przez dany punkt.

W rozwiązaniu wykorzystujemy fakt, że równanie takiego okręgu musi być postaci:

(x\pm r)^2+(y\pm r)^2=r^2.

Punkt przecięcia się okręgu z osią OX / OY

W tym wariancie szukamy punktu przecięcia się okręgu z osią OX lub OY.

Rozwiązanie sprowadza się do podstawienia do równania okręgu x=0 (punkt przecięcia z osią OY) lub y=0 (punkt przecięcia z osią OX).

Równanie okręgu → odległość punktu od środka

W tym wariancie interesuje nas odległość punktu od środka danego okręgu.

Rozwiązanie sprowadza się do odczytania współrzędnych środka okręgu z jego równania i skorzystania ze Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych.

Odległość między środami okręgów

W tym wariancie interesuje nas odległość między środkami dwóch okręgów.

Rozwiązanie sprowadza się do odczytania środków tych okręgów i skorzystania ze Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych.

Środek + punkt na okręgu → obwód

W tym wariancie znamy środek okręgu oraz jeden punkt leżący na tym okręgu, a celem jest obliczenie jego obwodu.

Rozwiązanie polega na obliczeniu promieniu okręgu korzystając ze Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych oraz obliczenia obwodu ze Wzór na długość okręgu.

Sprawdzanie czy punkt leży na okręgu

W tym wariancie musimy sprawdzić czy punkt leży na okręgu (podstawiając jego współrzędne do równania okręgu i sprawdzając czy otrzymujemy równość prawdziwą).

Równanie okręgu → liczba punktów wspólnych z osiami układu współrzędnych

W tym wariancie musimy sprawdzić ile punktów wspólnych ma okrąg o zadanym równaniu z osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie polega:

albo na narysowaniu okręgu w układzie współrzędnych i odczytaniu rozwiązania,
albo na podstawieniu do równania okręgu kolejno y=0 lub x=0 i sprawdzeniu, czy równanie z jedną niewiadomą ma rozwiązanie.

Na okręgu o równaniu (x-1)^2+(y+2)^2=13 leży punkt

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu