Ten typ obejmuje zadania, w których występują logarytmy o różnych podstawach. Aby je porównać lub połączyć, korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu — każdy logarytm zapisujemy jako iloraz logarytmów o wybranej przez nas podstawie c:

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

Wzór zachodzi dla dodatnich liczb a, b, c, przy czym a\neq 1 i c\neq 1. Nową podstawę wybieramy tak, by liczby w wyrażeniu były jej potęgami albo by pojawiły się logarytmy, których wartości znamy. Ze wzoru wynikają dwie równości, z których często korzystamy:

\begin{aligned}\log_a b&=\frac{1}{\log_b a}\\ \log_a b\cdot\log_b c&=\log_a c\end{aligned}

Obie wymagają dodatkowo, by b\neq 1. Po zmianie podstawy wyrażenie upraszczamy własnościami logarytmów: sumę logarytmów o tej samej podstawie zastępujemy logarytmem iloczynu, różnicę — logarytmem ilorazu, a współczynnik przed logarytmem — wykładnikiem potęgi. Zadania, w których wszystkie logarytmy mają od początku tę samą podstawę, zostały zebrane w osobnym typie Logarytmy – podstawowe własności i działania.

Uwaga

Iloraz logarytmów to nie logarytm ilorazu

Po zmianie podstawy otrzymujemy iloraz dwóch logarytmów. Nie wolno zastępować go logarytmem ilorazu:

\frac{\log_c b}{\log_c a}\neq\log_c\frac{b}{a}

Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów, a nie ich ilorazowi. Iloraz logarytmów upraszczamy, zapisując obie liczby logarytmowane jako potęgi tej samej liczby, np. \displaystyle \frac{\log 8}{\log 4}=\frac{3\log 2}{2\log 2}.

Sprowadzanie logarytmów do wspólnej podstawy

W tym wariancie obliczamy wartość sumy lub różnicy logarytmów o różnych podstawach albo wskazujemy wyrażenie równe danemu logarytmowi. Wybieramy wspólną podstawę — najczęściej liczbę, której potęgami są wszystkie podstawy — i zamieniamy na nią logarytmy ze wzoru na zmianę podstawy. Na koniec logarytmy o tej samej podstawie łączymy własnościami logarytmów.

W tym zadaniu jedna podstawa jest kwadratem drugiej, więc logarytm o większej podstawie zamieniamy na logarytm o mniejszej podstawie, a potem dodajemy logarytmy o tej samej podstawie.

Tutaj jeden składnik jest odwrotnością logarytmu. Zamieniamy go na logarytm, w którym podstawa i liczba logarytmowana zamieniły się miejscami — wtedy oba logarytmy mają tę samą podstawę.

Tutaj szukamy wśród podanych wyrażeń takiego, które jest równe danemu logarytmowi. Zmieniamy jego podstawę na podstawę logarytmów z tych wyrażeń, a otrzymany ułamek zapisujemy jako odwrotność logarytmu.

Iloczyn logarytmów o różnych podstawach

W tym wariancie mnożymy logarytmy, w których liczba logarytmowana jednego czynnika i podstawa następnego są potęgami tej samej liczby. Ze wzoru na zmianę podstawy zapisujemy wszystkie czynniki przy wspólnej podstawie k — wtedy logarytmy w licznikach i mianownikach się skracają:

\begin{aligned}\log_a b\cdot\log_b c&=\frac{\log_k b}{\log_k a}\cdot\frac{\log_k c}{\log_k b}\\&=\log_a c\end{aligned}

Wykładniki potęg z podstaw i liczb logarytmowanych wyłączamy przed logarytmy jako współczynniki i mnożymy je osobno.

W tym zadaniu mnożymy trzy logarytmy, a podstawami dwóch z nich są pierwiastki. Po zmianie podstawy na liczbę spod pierwiastka logarytmy pierwiastków stają się ułamkami, a pozostałe czynniki się skracają.

Tutaj zamiast liczb występują litery, a podstawami są odwrotności zmiennych. Zmieniamy podstawę na dowolną wspólną, np. 10, a logarytm odwrotności zapisujemy jako liczbę przeciwną do logarytmu.

Tutaj iloczyn logarytmów jest licznikiem ułamka. Mianownik obliczamy osobno z własności logarytmu potęgi, a w liczniku zmieniamy podstawę tak, by czynniki się skróciły.

Potęga z logarytmem w wykładniku

W tym wariancie logarytm stoi w wykładniku potęgi. Korzystamy z podstawowych własności logarytmów, a dokładniej z równości:

a^{\log_a b}=b

Zachodzi ona dla a>0, a\neq 1 i b>0. Aby ją zastosować, doprowadzamy do tego, żeby podstawa potęgi była równa podstawie logarytmu: podstawę potęgi zapisujemy jako potęgę innej liczby i z własności potęg przenosimy wykładnik, a podstawę logarytmu w wykładniku zmieniamy ze wzoru na zmianę podstawy.

W tym zadaniu wykładnik jest ilorazem logarytmów dziesiętnych, więc ze wzoru na zmianę podstawy zapisujemy go jako jeden logarytm o podstawie, której potęgą jest podstawa potęgi.

Tutaj wykładniki są odwrotnościami logarytmów, więc najpierw zamieniamy je na logarytmy, w których podstawa i liczba logarytmowana zamieniły się miejscami.

Tutaj wykładnik jest kombinacją dwóch logarytmów, więc najpierw łączymy go w jeden logarytm z własności logarytmów. Druga liczba jest iloczynem logarytmów, który upraszczamy jak w poprzednim wariancie.

Wyrażanie logarytmu za pomocą danych logarytmów

W tym wariancie znamy wartości jednego lub dwóch logarytmów oznaczone literami i szukamy innego logarytmu wyrażonego za ich pomocą albo wykazujemy podaną zależność. Ze wzoru na zmianę podstawy zapisujemy szukany logarytm przy podstawie, przy której łatwo wykorzystać dane, a liczby logarytmowane rozkładamy na czynniki — potęgi tych samych liczb, które występują w danych logarytmach — i korzystamy z własności logarytmów. Z danych wyznaczamy potrzebne logarytmy w zależności od liter i podstawiamy je do otrzymanego wyrażenia.

W tym zadaniu oba dane logarytmy mają tę samą podstawę, więc na nią zmieniamy podstawę szukanego logarytmu, a liczby logarytmowane rozkładamy na czynniki pierwsze.

Tutaj dane logarytmy mają różne podstawy, więc najpierw jeden z nich zapisujemy przy podstawie drugiego — łącząc oba dane, otrzymujemy logarytm, który pojawia się w szukanym wyrażeniu.

Tutaj mamy wykazać podaną zależność, więc możemy też wyjść od prawej strony: za literę podstawiamy dany logarytm i przekształcamy wyrażenie, aż otrzymamy lewą stronę.

Tutaj zamiast liczb występują litery, a podstawą danego logarytmu jest iloczyn. Szukany logarytm odwracamy, by miał tę samą podstawę co dany, i korzystamy z logarytmu ilorazu.

Dowodzenie równości z logarytmami

W tym wariancie wykazujemy, że równość z logarytmami o różnych podstawach jest prawdziwa — dla podanych liczb albo dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych. Logarytmy sprowadzamy do wspólnej podstawy ze wzoru na zmianę podstawy i przekształcamy jedną stronę, aż otrzymamy drugą, albo obie strony doprowadzamy do tej samej postaci.

W tym zadaniu każdy składnik jest odwrotnością logarytmu. Po uproszczeniu mianowników wszystkie logarytmy mają tę samą liczbę logarytmowaną, więc odwracamy je i dodajemy logarytmy o tej samej podstawie.

Tutaj równość ma zachodzić dla wszystkich dopuszczalnych wartości dwóch zmiennych, więc obie strony zapisujemy przy podstawie równej jednej ze zmiennych.

Tutaj upraszczamy wzór funkcji: jeden składnik jest potęgą z logarytmem w wykładniku, a współczynnik drugiego zawiera iloczyn logarytmów o różnych podstawach.

Wartość wyrażenia 2 _{5}{10}- 1/ _{20}{5} jest równa

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia