(nowa formuła)
Dane są liczby: oraz . Prawdziwa jest równość
k=ak=ak=ak=a
k=bk=bk=bk=b
k=ck=ck=ck=c
k=dk=dk=dk=d
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Równanie
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dokładnie dwa rozwiązania.
ma dokładnie cztery rozwiązania.
Równanie z wartością bezwzględną
Wartość wyrażenia jest równa
−1-1−1-1
0000
1111
2222
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Granica
jest równa
−∞-\infty−∞-\infty
+∞+\infty+∞+\infty
Granica funkcji
Punkt jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem , gdy . Oblicz iloraz .
Funkcja wymierna (homograficzna)
Styczna do paraboli o równaniu w punkcie jest nachylona do osi pod kątem . Oblicz współrzędne punktu .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Trójkąt jest ostrokątny oraz . Dwusieczna kąta przecina bok w punkcie . Punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta , punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta , a punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta (zobacz rysunek).
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Dowodzenie w planimetrii
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej i dla każdej liczby całkowitej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Z liczb ośmioelementowego zbioru tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce
Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru , gdzie i są promieniami podstaw (), a jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa , objętość , a . Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.
Stożek
Rozwiąż równanie
w przedziale .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa rozwiązania rzeczywiste i , spełniające warunek .
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Wyrazy ciągu geometrycznego , określonego dla , spełniają układ równań
Wyznacz liczbę początkowych wyrazów tego ciągu, których suma jest równa .
Ciąg geometryczny
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego , w którym . Obie współrzędne wierzchołka są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt ma równanie . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy i wysokości trapezu jest równa .
Wyznacz wszystkie wartości , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
Wykaż, że obwód takiego trapezu, jako funkcja długości dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem
Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
Optymalizacja w planimetrii
