Układy równań: liniowe z parametrem

Ten typ obejmuje zadania, w których zawiera parametr, a jego wartość wyznaczamy z informacji o rozwiązaniu układu: znamy to rozwiązanie, wiemy, ile układ ma rozwiązań, albo rozwiązanie ma spełniać dodatkowy warunek. jest każda para liczb $(x,y)$(x,y), która spełnia jednocześnie oba równania.

Każde z równań opisuje prostą, a rozwiązania układu to współrzędne punktów wspólnych tych prostych. Po zapisaniu obu równań w postaci $y=a_1x+b_1$y=a_1x+b_1 i $y=a_2x+b_2$y=a_2x+b_2 liczbę rozwiązań odczytujemy ze współczynników:

Układ o jednym rozwiązaniu to , układ bez rozwiązań — , a układ o nieskończenie wielu rozwiązaniach — .

W tym wariancie znamy parę liczb $(x_0,y_0)$(x_0,y_0), która jest rozwiązaniem układu. Z definicji podstawiamy ją do obu równań i z każdego otrzymujemy równanie z niewiadomym parametrem.

W tym zadaniu w układzie są dwa parametry, każdy w innym równaniu, więc każdy wyznaczamy z jego równania osobno.

Tutaj ten sam parametr występuje w obu równaniach, a w jednym z nich w drugiej potędze. Wygodniej skorzystać z równania, w którym parametr jest w pierwszej potędze, a otrzymaną wartość sprawdzić w drugim równaniu.

W tym wariancie układ ma być sprzeczny albo nieoznaczony. Proste opisane równaniami muszą mieć wtedy równe współczynniki kierunkowe — z są równoległe — a o liczbie rozwiązań decydują wyrazy wolne: dla układu sprzecznego są różne, dla nieoznaczonego równe.

Zadania, w których parametr wyznaczamy z równoległości dwóch prostych, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu oba równania mają postać kierunkową, a układ ma być sprzeczny, więc porównujemy współczynniki kierunkowe i wyrazy wolne obu prostych.

Tutaj równania mają postać ogólną, a układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Wtedy jedno równanie musi powstawać z drugiego przez pomnożenie obu stron przez tę samą liczbę.

W tym wariancie rozwiązujemy układ, traktując parametr jak daną liczbę — korzystamy z albo z . Otrzymujemy niewiadome zapisane za pomocą parametru i nakładamy na nie warunek z treści, np. że obie są dodatnie. Rozwiązujemy otrzymane nierówności i bierzemy część wspólną ich zbiorów rozwiązań.