Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach

$logo$

Ten typ obejmuje zadania z poziomu rozszerzonego, w których obliczamy wartość wyrażenia z pierwiastkami. Korzystamy z definicji i z , a przy pierwiastkach kwadratowych — z . Dla nieujemnych liczb $a$ i $b$ :

\begin{aligned}\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}&=\sqrt{ab}\\ \left(\sqrt{a}\right)^2&=a\end{aligned}

Prostsze zadania z matury podstawowej zostały zebrane w osobnym typie Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach.

Pierwiastek z kwadratu — wartość bezwzględna

W tym wariancie pod pierwiastkiem kwadratowym stoi kwadrat wyrażenia. Korzystamy z , a dokładniej z równości:

\sqrt{a^2}=|a|

Zachodzi ona dla każdej liczby rzeczywistej $a$ , także ujemnej. Następnie ustalamy znak wyrażenia pod , porównując pierwiastek z sąsiednimi liczbami całkowitymi, i opuszczamy ją z definicji. Takie zadania z matury podstawowej zostały zebrane w typie Wartość bezwzględna.

Wczytywanie zadania

Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

W tym wariancie podnosimy do kwadratu różnicę pierwiastków. Rozwijamy ją ze , a iloczyn pierwiastków zapisujemy jako jeden pierwiastek. Pod pierwiastkami stoją wyrażenia sprzężone, więc ich iloczyn obliczamy ze :

\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)=a^2-b

Wczytywanie zadania

Działania na pierwiastkach różnych stopni i potęgach

W tym wariancie upraszczamy iloczyny i ilorazy pierwiastków różnych stopni oraz potęg. Pierwiastki zapisujemy jako :

\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}

Ta równość dotyczy liczb $a>0$ . Potem korzystamy z . Pierwiastki nieparzystego stopnia istnieją także z liczb ujemnych — z mamy np. $\sqrt[3]{-8}=-2$ .