Optymalizacja w planimetrii

Ten typ obejmuje zadania optymalizacyjne osadzone w planimetrii: spośród figur spełniających dany warunek, np. o stałym obwodzie, szukamy tej, która ma największe pole, i obliczamy to pole. Pole zapisujemy jako jednej zmiennej — długości wybranego boku — i korzystamy z : gdy współczynnik przy $x^2$x^2 jest ujemny, funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Zależność między wymiarami figury wynika z warunku zadania, np. z obwodu, z podobieństwa trójkątów albo z podziału figury na części.

Ten typ uzupełnia zadania zebrane w typie o zadania, w których funkcję trzeba zbudować z zależności geometrycznych.

W tym wariancie jeden wymiar figury oznaczamy przez $x$x, a drugi wyznaczamy z warunku zadania, np. z obwodu $2x+2y=L$2x+2y=L otrzymujemy $\displaystyle y=\frac{L}{2}-x$\displaystyle y=\frac{L}{2}-x. Podstawiamy oba wymiary do wzoru na pole — dla równoległoboku o kącie ostrym $\alpha$\alpha jest to $P=xy\sin\alpha$P=xy\sin\alpha — i otrzymujemy funkcję kwadratową zmiennej $x$x. Jej wyznaczamy z warunku, że wszystkie długości są dodatnie. Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli obliczamy z :

Gdy $a<0$a<0 i $p$p należy do dziedziny, największe pole jest równe $P(p)$P(p). Na koniec obliczamy wymiary figury o największym polu — drugi wymiar wyznaczamy z warunku zadania.