Równania wymierne

Ten typ obejmuje , w których niewiadoma występuje w mianowniku, np. $\displaystyle \frac{5}{x+1}=\frac{x+3}{2x-1}$\displaystyle \frac{5}{x+1}=\frac{x+3}{2x-1}, a po pozbyciu się mianowników otrzymujemy albo . Najpierw wyznaczamy , czyli wykluczamy ze zbioru $\mathbb{R}$\mathbb{R} liczby, dla których którykolwiek mianownik jest równy zeru. Następnie mnożymy obie strony przez wspólny mianownik — w dziedzinie jest to przekształcenie równoważne, zgodne z . Dla proporcji oznacza to mnożenie „na krzyż”:

Tu $A$A, $B$B, $C$C i $D$D oznaczają wyrażenia z niewiadomą. Ta równoważność zachodzi, gdy $B\neq 0$B\neq 0 i $D\neq 0$D\neq 0, czyli w dziedzinie równania.

Równania postaci $\displaystyle \frac{W(x)}{V(x)}=0$\displaystyle \frac{W(x)}{V(x)}=0, w których wystarczy porównać miejsca zerowe licznika i mianownika, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie po pomnożeniu przez mianowniki wyrazy z kwadratem niewiadomej nie powstają albo się redukują i zostaje :

Wzór stosujemy, gdy $a\neq 0$a\neq 0. Otrzymane rozwiązanie porównujemy z dziedziną.

W tym zadaniu równanie ma postać proporcji z liczbą po prawej stronie, więc mnożymy „na krzyż” i od razu otrzymujemy równanie liniowe.

Tutaj niewiadoma występuje w mianownikach po obu stronach, a mianowniki mają wspólny czynnik — wystarczy pomnożyć obie strony przez prostszy wspólny mianownik, a nie przez iloczyn mianowników.

Tutaj niewiadoma występuje tylko w mianowniku jednego ułamka, a pozostałe ułamki są liczbowe, więc najpierw obliczamy wartość ułamka z niewiadomą, a potem jego odwrotność.

Tutaj po pomnożeniu przez mianownik wyrazy z niewiadomą się redukują. Gdy zostaje równość fałszywa, równanie jest i nie ma rozwiązań.

W tym wariancie po pomnożeniu przez mianownik powstaje $ax^2+bx+c=0$ax^2+bx+c=0. Rozwiązujemy je, korzystając z , gdzie $\Delta=b^2-4ac$\Delta=b^2-4ac:

Te wzory stosujemy, gdy $\Delta>0$\Delta>0; dla $\Delta=0$\Delta=0 jest jedno rozwiązanie $\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}$\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}, a dla $\Delta<0$\Delta<0 — żadne. Każde otrzymane rozwiązanie porównujemy z dziedziną.

W tym zadaniu dziedzina jest podana w treści, a po pomnożeniu przez mianownik po obu stronach stoją iloczyny — wymnażamy je i porządkujemy równanie kwadratowe.

Tutaj jedno z rozwiązań otrzymanego równania kwadratowego zeruje mianownik, więc nie należy do dziedziny i je odrzucamy.

Tutaj treść pyta tylko o rozwiązania z podanego przedziału, więc po rozwiązaniu równania porównujemy otrzymane liczby z końcami przedziału.

Tutaj nie wyznaczamy rozwiązań, tylko uzasadniamy, że żadne z nich nie jest liczbą całkowitą — pomaga w tym wartość wyróżnika.

W tym wariancie równanie układamy samodzielnie. Wielkość dzieloną po równo, np. koszt przypadający na jedną osobę, zapisujemy jako iloraz $\displaystyle \frac{S}{n}$\displaystyle \frac{S}{n}, gdzie $S$S jest całą kwotą, a $n$n — liczbą osób. Zmianę warunków opisujemy drugim ilorazem i łączymy oba w , które po pomnożeniu przez mianowniki sprowadza się do równania kwadratowego. Na końcu odrzucamy rozwiązania bez sensu w treści zadania, np. ujemną liczbę osób.

Takie zadania można też rozwiązać układem dwóch równań z iloczynem niewiadomych — zadania tego rodzaju zostały zebrane w osobnym typie .