Równanie okręgu

Ten typ obejmuje zadania z poziomu rozszerzonego, w których wyznaczamy równanie okręgu albo punkty okręgu spełniające dodatkowe warunki. Korzystamy z równania o środku $S=(a,b)$S=(a,b) i promieniu $r$r:

Każdy punkt okręgu jest odległy od środka o $r$r. Gdy znamy dwa punkty okręgu, środek jest od nich jednakowo odległy, więc z leży na odcinka, który je łączy. Zadania z matury podstawowej o równaniu okręgu zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie znamy dwa punkty okręgu $A$A i $B$B oraz prostą, na której leży jego środek. Współrzędne środka zapisujemy za pomocą jednej zmiennej, np. $S=(x,ax+b)$S=(x,ax+b), i z równości $|AS|=|BS|$|AS|=|BS|, zapisanej ze i podniesionej do kwadratu, otrzymujemy równanie liniowe. Promień jest odległością środka od dowolnego z danych punktów.

W tym zadaniu prosta jest dana w postaci ogólnej i łatwiej wyznaczyć z niej $x$x niż $y$y, więc pierwszą współrzędną środka zapisujemy za pomocą drugiej.

W tym wariancie szukamy punktu $C$C leżącego na danym okręgu, dla którego $|AC|=|BC|$|AC|=|BC|. Z punkt $C$C leży na symetralnej odcinka $AB$AB — jej równanie otrzymujemy z warunku $|AP|^2=|BP|^2$|AP|^2=|BP|^2 dla punktu $P=(x,y)$P=(x,y). Punkty wspólne symetralnej i okręgu wyznaczamy, podstawiając równanie prostej do równania okręgu.

W tym zadaniu dane punkty leżą na okręgu, więc szukamy punktów okręgu na symetralnej cięciwy — z przechodzi ona przez środek okręgu.

W tym wariancie końce średnicy okręgu są punktami przecięcia prostej z inną krzywą — wyznaczamy je, rozwiązując układ równań. Środek okręgu jest środkiem średnicy, a promień — połową jej długości; obliczamy je ze i wzoru na długość odcinka. Każdy inny punkt okręgu tworzy z końcami średnicy trójkąt prostokątny, bo z kąt przy tym punkcie jest prosty.

W tym zadaniu znamy tangens kąta przy końcu średnicy. W trójkącie prostokątnym wyznacza on stosunek przyprostokątnych, a nachylenie prostej przechodzącej przez ten koniec obliczamy z tangensa sumy kątów.

W tym wariancie sprawdzamy, ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem. Z równania okręgu odczytujemy środek i promień, a potem porównujemy z promieniem odległość środka od prostej, obliczoną z . Zadania o położeniu prostej względem okręgu zostały zebrane w osobnym typie .