Dowodzenie równań / równości

Ten typ obejmuje zadania dowodowe, w których z podanej równości lub założeń mamy wywnioskować inną równość. i równości przekształcamy zgodnie z , wykonując te same działania na obu stronach, i korzystamy ze :

Każdy krok musi wynikać z poprzedniego albo z założeń, a na końcu zapisujemy wniosek, że otrzymaliśmy tezę.

Zadania, w których podobnymi metodami dowodzimy nierówności, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie przekształcamy daną równość zgodnie z : opuszczamy nawiasy, przenosimy wyrazy na jedną stronę i zapisujemy wynik jako kwadrat wyrażenia albo iloczyn czynników przyrównany do zera. Potem korzystamy z tego, że kwadrat liczby jest zerem tylko dla zera, a iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik:

Z otrzymanych przypadków odczytujemy tezę.

W tym zadaniu założeniem jest równość iloczynu dwóch sum kwadratów i kwadratu sumy. Po wymnożeniu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych szukamy w otrzymanym wyrażeniu kwadratu różnicy.

Tutaj założenie jest równością pierwiastków kwadratowych, więc najpierw podnosimy obie strony do kwadratu — to przekształcenie równoważne, bo obie strony są nieujemne. Teza jest alternatywą dwóch równości, co odpowiada iloczynowi dwóch czynników.

W tym wariancie znamy sumę dwóch liczb oraz inne zależności między nimi i mamy wykazać, ile wynosi suma kwadratów lub wyższych potęg. Podnosimy daną równość do kwadratu i ze wyznaczamy sumę kwadratów albo iloczyn liczb:

W tym zadaniu znamy sumę liczb i sumę ich kwadratów, a teza dotyczy czwartych potęg, więc wzór na kwadrat sumy stosujemy dwa razy: najpierw do sumy liczb, potem do sumy ich kwadratów.

Tutaj zamiast dwóch dowolnych liczb mamy liczbę i jej odwrotność, więc ich iloczyn jest równy $1$1 i podwojony iloczyn we wzorze jest po prostu liczbą.

W tym wariancie przekształcamy jedną stronę dowodzonej równości, aż otrzymamy drugą, i po drodze korzystamy z założenia. zapisujemy jako odwrotności, $\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a}$\displaystyle a^{-1}=\frac{1}{a}, a ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Wzór zachodzi dla $a\neq 0$a\neq 0 i $b\neq 0$b\neq 0. Wyrażenie znane z założenia, np. iloczyn liczb, podstawiamy w odpowiednim miejscu.