Sześcian

Ten typ obejmuje zadania o , czyli prostopadłościanie, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość $a$a, a wszystkie ściany są przystającymi kwadratami. Sześcian ma $6$6 ścian, $8$8 wierzchołków i $12$12 krawędzi. Każdą wielkość w sześcianie wyrażamy przez $a$a, dlatego zwykle najpierw wyznaczamy długość krawędzi, a potem szukaną wielkość.

Zadania o prostopadłościanie o różnych krawędziach zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie znamy jedną z wielkości: objętość, pole powierzchni całkowitej, pole jednej ściany albo sumę długości wszystkich krawędzi. Z odpowiedniego wzoru wyznaczamy krawędź $a$a, a potem obliczamy szukaną wielkość. Korzystamy ze i :

gdzie $L$L oznacza sumę długości wszystkich krawędzi, a pole jednej ściany jest równe $a^2$a^2.

W tym zadaniu znamy pole powierzchni całkowitej i szukamy krawędzi, więc wystarczy przekształcić wzór na pole powierzchni sześcianu.

Tutaj z objętości wyznaczamy krawędź, a pytanie dotyczy sumy długości wszystkich krawędzi, więc korzystamy z tego, że sześcian ma $12$12 jednakowych krawędzi.

Tutaj porównujemy objętości dwóch sześcianów, których krawędzie różnią się podaną liczbę razy: gdy krawędź rośnie $k$k razy, objętość rośnie $k^3$k^3 razy. Porównania brył podobnych zostały zebrane w osobnym typie .

Tutaj objętość mierzymy liczbą jednakowych klocków, a pole powierzchni — liczbą ich kwadratowych ścianek widocznych na zewnątrz bryły.

W tym wariancie łączymy długość krawędzi z długością przekątnej ściany lub przekątnej sześcianu. Przekątna ściany jest przekątną kwadratu o boku $a$a, a przekątna sześcianu — przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$a i $a\sqrt{2}$a\sqrt{2}, widocznego na rysunku.

Z i mamy:

gdzie $d$d oznacza przekątną ściany, a $D$D — przekątną sześcianu. Drugi wzór wynika też z :

Gdy znamy przekątną, krawędź otrzymujemy, dzieląc ją przez $\sqrt{2}$\sqrt{2} lub $\sqrt{3}$\sqrt{3}.

W tym zadaniu znamy krawędź i szukamy przekątnej sześcianu — wystarczy gotowy wzór albo dwukrotne użycie twierdzenia Pitagorasa.

Tutaj dana jest przekątna ściany, więc krawędź wyznaczamy ze wzoru na przekątną kwadratu, a potem obliczamy objętość.

Tutaj krawędź i przekątna sześcianu są powiązane dodatkowym warunkiem, więc ze wzoru na przekątną układamy równanie z niewiadomą $a$a. Jego współczynnik jest niewymierny, dlatego na końcu usuwamy niewymierność z mianownika.

W tym wariancie szukamy wartości funkcji trygonometrycznej kąta, jaki odcinek tworzy z płaszczyzną ściany sześcianu, np. przekątna sześcianu z płaszczyzną podstawy. Z definicji jest to kąt między odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Odcinek, jego rzut i krawędź prostopadła do ściany tworzą trójkąt prostokątny, w którym z definicji , i :

gdzie $l$l jest długością odcinka, $r$r — długością jego rzutu, a $h$h — odległością końca odcinka od płaszczyzny, zwykle równą krawędzi $a$a. Długości $l$l i $r$r wyrażamy przez $a$a za pomocą przekątnych ściany i sześcianu; po podstawieniu długość krawędzi skraca się w ułamku, więc wynik nie zależy od wielkości sześcianu.

W tym zadaniu chodzi o kąt między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy, więc rzutem przekątnej jest przekątna podstawy.

Tutaj odcinek łączy wierzchołek górnej podstawy ze środkiem dolnej, więc jego rzutem jest połowa przekątnej podstawy.

Tutaj kąt leży między przekątną sześcianu a przekątną ściany bocznej, czyli jest kątem nachylenia przekątnej do tej ściany; kąt prosty leży przy końcu krawędzi prostopadłej do ściany.

W tym wariancie rozważamy trójkąt, którego wierzchołkami są wierzchołki sześcianu lub środki jego krawędzi, np. przekrój sześcianu płaszczyzną. Przykładowe przekroje pokazuje rysunek — najczęściej są to trójkąty.

Długość każdego boku obliczamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne leżą na ścianach lub krawędziach sześcianu. Często trójkąt okazuje się równoboczny, np. gdy każdy jego bok jest przekątną ściany o długości $a\sqrt{2}$a\sqrt{2}. Wtedy jego kąty mają miarę $60^\circ$60^\circ, a pole obliczamy ze :

gdzie $s$s oznacza długość boku trójkąta.

W tym zadaniu dwa boki trójkąta są przekątnymi sąsiednich ścian wychodzącymi z jednego wierzchołka, a szukamy kąta między nimi.

Tutaj znamy pole trójkąta, którego bokami są przekątne ścian, więc ze wzoru na pole trójkąta równobocznego wyznaczamy przekątną ściany, a z niej krawędź sześcianu.

Tutaj wierzchołkami trójkąta są środki trzech krawędzi, więc długość każdego boku obliczamy, stosując twierdzenie Pitagorasa dwa razy.

W tym wariancie wierzchołkami ostrosłupa są wierzchołki sześcianu, np. ostrosłup odcięty od sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez trzy wierzchołki. Podstawą takiego ostrosłupa jest połowa ściany albo cała ściana, a wysokością — krawędź sześcianu prostopadła do tej ściany. Objętość obliczamy ze :

gdzie $P_p$P_p jest polem podstawy, a $H$H — wysokością ostrosłupa. Ściany takich ostrosłupów są zwykle trójkątami prostokątnymi, a ściana, której bokami są trzy przekątne ścian sześcianu, jest trójkątem równobocznym. Zadania o innych ostrosłupach, w których krawędź boczna jest wysokością, zostały zebrane w typie .

W tym zadaniu ostrosłup jest odcięty od sześcianu, a porównujemy jego objętość z objętością pozostałej części bryły, czyli z różnicą objętości sześcianu i ostrosłupa.

Tutaj szukamy pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: trzy jego ściany są połówkami kwadratów, a czwarta — trójkątem równobocznym o bokach będących przekątnymi ścian sześcianu.

Tutaj podstawą ostrosłupa jest cała ściana sześcianu, a spośród czterech siatek wybieramy tę, którą da się złożyć. Sprawdzamy, przy których wierzchołkach podstawy leżą kąty proste ścian bocznych i które krawędzie mają długość przekątnej ściany.

W tym wariancie interesuje nas odległość punktu leżącego wewnątrz sześcianu od jego ścian. Odległość punktu od płaszczyzny to długość odcinka łączącego ten punkt z jego na tę płaszczyznę. Przeciwległe ściany sześcianu leżą w płaszczyznach równoległych odległych o $a$a, więc odcinki prostopadłe poprowadzone z punktu do dwóch przeciwległych ścian tworzą razem odcinek o długości krawędzi:

gdzie $d_1$d_1 i $d_2$d_2 są odległościami punktu od dwóch przeciwległych ścian.