Twierdzenie o związku między pochodną a monotonicznością funkcji

Niech dana będzie funkcja $f$f różniczkowalna w przedziale $(a,b)$(a,b). Wówczas:

• jeżeli funkcja $f$f jest rosnąca w przedziale $(a,b)$(a,b), to $f'(x)\ge 0$f'(x)\ge 0 dla każdego $x\in(a,b)$x\in(a,b).

• jeżeli funkcja $f$f jest malejąca w przedziale $(a,b)$(a,b), to $f'(x)\le 0$f'(x)\le 0 dla każdego $x\in(a,b)$x\in(a,b).

Odwrotnie:

• Jeżeli $f'(x)>0$f'(x)>0 dla każdego $x\in(a,b)$x\in(a,b), to funkcja $f$f jest rosnąca na przedziale $(a,b)$(a,b)

• Jeżeli $f'(x)<0$f'(x)<0 dla każdego $x\in(a,b)$x\in(a,b), to funkcja $f$f jest malejąca na przedziale $(a,b)$(a,b)

• Jeżeli $f'(x)=0$f'(x)=0, to funkcja $f$f jest stała na przedziale $(a,b)$(a,b).