Definicja 1

Punkty symetryczne względem punktu

Mówimy, że punkt A' jest punktem symetrycznym do punktu A względem punktu O (A\neq O) jeżeli punkt O jest środkiem odcinka AA' łączącego punkty A i A'.

Definicja 2

Symetria środkowa

Symetria środkowa względem punktu O to przekształcenie geometryczne S_O które każdemu punktowi płaszczyzny przyporządkowuje punkt do niego symetryczny względem punktu O. Punkt O nazywamy środkiem symetrii oraz przyjmujemy S_O(O)=O.

Twierdzenie 1

O obrazie punktu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych

Obrazem punktu P=(x,y) w symetrii środkowej względem punktu O=(0,0) jest punkt P'=-P=(-x,-y).

Odcinek symetryczny do danego odcinka AB względem punktu O możemy narysować znajdując punkty A',B' symetryczne do punktów A i B względem tego punktu i łącząc je.

Uwaga 1

Uwaga

Zauważ, że odcinki symetryczne względem punktu mają nie tylko tę samą długość, ale są też względem siebie równoległe.

Definicja 3

Figury symetryczne względem punktu

Mówimy, że dwie figury są symetryczne względem punktu O, jeżeli jedna z nich jest odbiciem drugiej z nich względem punktu O.

W celu narysowania wielokąta symetrycznego do innego wielokąta względem punktu O, należy znaleźć punkty symetryczne do wierzchołków tego wielokąta względem punktu O i odpowiednio połączyć je tworząc boki.

Definicja 4

Figura środkowosymetryczna

Mówimy, że figura F jest środkowosymetryczna, jeżeli istnieje punkt O, taki że figura F jest swoim własnym obrazem w symetrii względem tego punktu (tj. jest symetryczna sama do siebie względem tego punktu), zwanego środkiem symetrii figury F.

Przykład 1

Figury środkowosymetryczne

Przykładami figur środkowosymetryczne są: kwadrat (punkt przecięcia przekątnych), prostokąt (punkt przecięcia przekątnych), trójkąt równoboczny (punkt przecięcia wysokości).

Twierdzenie 2

O punkcie stałym w symetrii środkowej

Jedynym punktem stałym w symetrii środkowej jest środek tej symetrii.

Twierdzenie 3

O symetrii środkowej w kwadracie

Kwadrat jest figurą środkowosymetryczną, a środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych tego kwadratu.

Twierdzenie 4

O symetrii środkowej w prostokącie

Prostokąt jest figurą środkowosymetryczną, a środkiem symetrii jest punkt przecięcia się przekątnych tego prostokąta.

Twierdzenie o obrazie punktu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych