(stara formuła)
Niech , . Wtedy wartość wyrażenia jest równa
72\displaystyle \frac{7}{2} 27\displaystyle \frac{7}{2}
95\displaystyle \frac{9}{5} 59\displaystyle \frac{9}{5}
718\displaystyle \frac{7}{18} 187\displaystyle \frac{7}{18}
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Cenę pewnego towaru obniżano dwukrotnie, za każdym razem o . Takie dwie obniżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną obniżką
o 40%40\%40%40\%
o 36%36\%36%36\%
o 32%32\%32%32\%
o 28%28\%28%28\%
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
Liczba jest równa
25252525
373^7373^7
333^3333^3
2527\displaystyle \frac{25}{27} 2725\displaystyle \frac{25}{27}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
W rozwinięciu dziesiętnym ułamka na trzydziestym miejscu po przecinku stoi cyfra
7777
1111
2222
4444
Ułamki: okresowe
Wskaż największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność .
5555
6666
8888
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Wyrażenie jest równe
−y2+18-y^2+18−y2+18-y^2+18
−y2+6y-y^2+6y−y2+6y-y^2+6y
−y2-y^2−y2-y^2
−y2+6y+18-y^2+6y+18−y2+6y+18-y^2+6y+18
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Iloczyn liczb spełniających równanie jest równy
−5-5−5-5
−6-6−6-6
Równanie kwadratowe - postać ogólna
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ma współrzędne . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ma współrzędne
(0,2)\left(0,2\right)(0,2)\left(0,2\right)
(4,2)\left(4,2\right)(4,2)\left(4,2\right)
(2,0)\left(2,0\right)(2,0)\left(2,0\right)
(2,4)\left(2,4\right)(2,4)\left(2,4\right)
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Miejsce zerowe funkcji liniowej jest większe od dla każdej liczby spełniającej warunek
m<−23\displaystyle m<- \frac{2}{3} m<−32\displaystyle m<- \frac{2}{3}
−23<m<13 \displaystyle - \frac{2}{3}<m< \frac{1}{3} −32<m<31 \displaystyle - \frac{2}{3}<m< \frac{1}{3}
13<m<1\displaystyle \frac{1}{3}<m<1 31<m<1\displaystyle \frac{1}{3}<m<1
m>1m>1m>1m>1
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Wskaż wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji względem osi układu współrzędnych.
y=f(x−4)y=f(x-4)y=f(x−4)y=f(x-4)
y=f(x)−4y=f(x)-4y=f(x)−4y=f(x)-4
y=f(x+4)y=f(x+4)y=f(x+4)y=f(x+4)
y=f(x)+4y=f(x)+4y=f(x)+4y=f(x)+4
Symetrie
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu
y=2y=2y=2y=2
y=−2y=-2y=−2y=-2
x=2x=2x=2x=2
x=−2x=-2x=−2x=-2
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
Ciąg jest określony dla wzorem: . Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
101101101101
121121121121
99999999
81818181
Suma ciągu arytmetycznego
Dany jest ciąg arytmetyczny dla , w którym oraz . Wtedy różnica tego ciągu jest równa
910\displaystyle \frac{9}{10} 109\displaystyle \frac{9}{10}
−100-100−100-100
109\displaystyle \frac{10}{9} 910\displaystyle \frac{10}{9}
100100100100
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych i cosinus większego z kątów ostrych jest równy
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
25\displaystyle \frac{2}{5} 52\displaystyle \frac{2}{5}
229\displaystyle \frac{2}{\sqrt{29}} 292\displaystyle \frac{2}{\sqrt{29}}
529\displaystyle \frac{5}{\sqrt{29}} 295\displaystyle \frac{5}{\sqrt{29}}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Kąt jest ostry oraz . Wtedy
tgα=13\displaystyle \tg\alpha= \frac{1}{3} tgα=31\displaystyle \tg\alpha= \frac{1}{3}
tgα=3\tg\alpha=3tgα=3\tg\alpha=3
tgα=3\tg\alpha=\sqrt{3}tgα=3\tg\alpha=\sqrt{3}
tgα=33\displaystyle \tg\alpha= \frac{\sqrt{3}}{3} tgα=33\displaystyle \tg\alpha= \frac{\sqrt{3}}{3}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość . Pole tego sześciokąta jest równe
12312\sqrt{3}12312\sqrt{3}
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
232\sqrt{3}232\sqrt{3}
333\sqrt{3}333\sqrt{3}
Wielokąt foremny
Obwody dwóch trójkątów podobnych, których pola pozostają w stosunku , mogą być równe
9999 i 36363636
18181818 i 36363636
9999 i 144144144144
18181818 i 144144144144
Podobieństwo figur (stosunki pól i obwodów)
Punkty i są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu , a punkt jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Współrzędne punktu są równe
(9,8)\left(9,8\right)(9,8)\left(9,8\right)
(15,12)\left(15,12\right)(15,12)\left(15,12\right)
(412,312)\displaystyle \left(4 \frac{1}{2},3 \frac{1}{2} \right)(421,321)\displaystyle \left(4 \frac{1}{2},3 \frac{1}{2} \right)
(3,3)\left(3,3\right)(3,3)\left(3,3\right)
Kwadrat w układzie współrzędnych
Okrąg opisany równaniem jest styczny do osi . Promień tego okręgu jest równy
13\sqrt{13}13\sqrt{13}
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
3333
Równanie okręgu
Każda krawędź ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość (ostrosłup taki jest nazywany czworościanem foremnym). Wysokość tego ostrosłupa jest równa
363\sqrt{6}363\sqrt{6}
262\sqrt{6}262\sqrt{6}
323\sqrt{2}323\sqrt{2}
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Dane są punkty oraz . Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy
2033\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{3} 3203\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{3}
4033\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{3} 3403\displaystyle \frac{40\sqrt{3}}{3}
533\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3} 353\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3}
1033\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3} 3103\displaystyle \frac{10\sqrt{3}}{3}
Trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych
Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe , a miara kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa . Wysokość tego graniastosłupa jest równa
626\sqrt{2}626\sqrt{2}
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Ze zbioru losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej jest równe
716\displaystyle \frac{7}{16} 167\displaystyle \frac{7}{16}
38\displaystyle \frac{3}{8} 83\displaystyle \frac{3}{8}
615\displaystyle \frac{6}{15} 156\displaystyle \frac{6}{15}
715\displaystyle \frac{7}{15} 157\displaystyle \frac{7}{15}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Medianą zestawu danych jest liczba . Wtedy może być równe
9999
Mediana
Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od , utworzonych wyłącznie z cyfr , przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
27272727
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez lub podzielną przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Kąt jest ostry i spełnia równość . Oblicz wartość wyrażenia .
Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność .
Dowodzenie nierówności
W prostokącie punkt jest środkiem boku , a punkt jest środkiem boku . Wykaż, że pole trójkąta jest równe sumie pól trójkątów oraz .
Dowodzenie w planimetrii
Dany jest ciąg arytmetyczny o różnicy i pierwszym wyrazie . Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: charakteryzacja / wzór ogólny / suma
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach , , .
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
