Formuła 2015
Granica jest równa
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
0000
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
1111
Granica funkcji
Dane są wektory oraz . Długość wektora jest równa
7777
1515 1515
17171717
23232323
Wektory
Punkty leżą na okręgu o środku . Miara kąta jest równa , a miara kąta jest równa (zobacz rysunek).
Wtedy kąt ma miarę równą
100∘100^\circ 100∘100^\circ
105∘105^\circ 105∘105^\circ
110∘110^\circ 110∘110^\circ
115∘115^\circ 115∘115^\circ
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Dany jest zbiór trzynastu liczb , z którego losujemy jednocześnie dwie liczby. Wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, jest
(72)+49\displaystyle \binom{7}{2}+49(27)+49\displaystyle \binom{7}{2}+49
(61)⋅(71)+49\displaystyle \binom{6}{1} \cdot \binom{7}{1}+49(16)⋅(17)+49\displaystyle \binom{6}{1} \cdot \binom{7}{1}+49
(132)−(72)\displaystyle \binom{13}{2}-\binom{7}{2}(213)−(27)\displaystyle \binom{13}{2}-\binom{7}{2}
(132)−(62)\displaystyle \binom{13}{2}-\binom{6}{2}(213)−(26)\displaystyle \binom{13}{2}-\binom{6}{2}
Kombinatoryka - parzystość/nieparzystość (liczb, cyfr lub iloczynu cyfr)
Wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Oblicz ten pierwiastek (pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku).
Pierwiastki wielomianu
Liczby rzeczywiste oraz spełniają jednocześnie równanie i nierówność . Wykaż, że oraz .
Dowodzenie równań / równości
Dany jest trójkąt prostokątny , w którym oraz . Punkty i leżą na bokach – odpowiednio – i tak, że (zobacz rysunek). Odcinek przecina wysokość tego trójkąta w punkcie , a ponadto .
Wykaż, że .
Dowodzenie w planimetrii
W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie – z kul pozostałych w pojemniku – losujemy jeszcze jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim losowaniu.
Prawdopodobieństwo całkowite
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Punkt należy do wykresu funkcji .
Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Rozwiąż nierówność
Wskazówka: skorzystaj z tego, że dla każdej liczby rzeczywistej .
Nierówności z wartością bezwzględną
Określamy kwadraty następująco:
jest kwadratem o boku długości
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej ,
jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu i dzieli ten bok w stosunku .
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
Szereg geometryczny
Rozwiąż równanie w przedziale .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
Czworokąt , w którym i , jest opisany na okręgu. Przekątna tego czworokąta tworzy z bokiem kąt o mierze , natomiast z bokiem – kąt ostry, którego sinus jest równy .
Oblicz obwód czworokąta .
Dany jest sześcian o krawędzi długości . Punkt jest punktem przecięcia przekątnych i ściany bocznej (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość trójkąta poprowadzoną z punktu na bok tego trójkąta.
Sześcian
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek .
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozważamy trójkąty , w których , , gdzie , a wierzchołek leży na prostej o równaniu . Na boku tego trójkąta leży punkt .
Wykaż, że dla pole trójkąta , jako funkcja zmiennej , wyraża się wzorem
Oblicz tę wartość , dla której funkcja osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej , przy której funkcja osiąga tę najmniejszą wartość.
Optymalizacja w geometrii analitycznej
