Matura (maj 2009, poziom podstawowy)

Funkcja określona jest wzorem

1. Uzupełnij tabelę

   

2. Narysuj wykres funkcji .

3. Podaj wszystkie liczby całkowite , spełniające nierówność .

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona , a drugi detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz i .

Wykres funkcji danej wzorem przesunięto wzdłuż osi o jednostki w prawo oraz wzdłuż osi o jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji .

1. Rozwiąż nierówność .

2. Podaj zbiór wartości funkcji .

3. Funkcja określona jest wzorem . Oblicz i .

Wykaż, że liczba jest rozwiązaniem równania .

Wielomian dany jest wzorem .

1. Wyznacz oraz tak, aby wielomian był równy wielomianowi , gdy .

2. Dla i zapisz wielomian w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa .

Uzasadnij, że spełniona jest nierówność .

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa . Dla oblicz wartość wyrażenia .

Dany jest ciąg arytmetyczny dla , w którym , .

1. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu .

2. Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny.

3. Wyznacz takie , aby suma początkowych wyrazów ciągu miała wartość najmniejszą.

W trapezie długość podstawy jest równa , a długości ramion trapezu i są odpowiednio równe i . Kąty i , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Punkty i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego , w którym . Przyprostokątna zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu i długość przyprostokątnej .

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze .

1. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

2. Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od . Odpowiedź uzasadnij.